4有理函数的积分.ppt

例8 求 解 先将无理函数的分子或分母有理化. 分析 原式 有理函数的积分 例9 求 解 令 则 原式= 回代 有理函数的积分 方法二: Euler变换: 有理函数的积分 有理函数的积分 解 令 分部积分 回代 有理函数的积分 解 法一 三角代换 法二 倒代换 2. 简单无理式的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 1. 三角有理式的积分.（万能代换公式） （注意：万能公式并不是最佳代换） 三、小结 可化为有理式的积分. 有理函数的积分 * 第六节 有理函数的积分 有理函数的积分 小结 思考题 作业 可化为有理函数的 积分举例 rational function 第四章 不定积分 基本积分法: 换元积分法; 分部积分法 有些函数的积分不是初等函数 直接积分法; 在概率论、数论、光学、傅里叶分析 等领域有重要应用的积分, 都属于“积不出”的范围. 有理函数的积分 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之. 一、有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 真分式; 假分式. 有理函数的积分 例 多项式的积分容易计算. 真分式的积分. 只讨论: 多项式 真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 若干部分分式之和 有理函数的积分 对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用. 定理 有理函数的积分 部分分式(最简分式). 有理函数的积分 用此定理有理函数的积分就易计算了. 且由下面的例题可看出: 有理函数的积分是初等函数. 注 系数的确定,一般有三种方法: (1) 等式两边同次幂系数相等; (2) 赋值; (3) 求导与赋值结合使用. 有理函数的积分 例1 求 解 由多项式除法,有 说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分. 假分式 有理函数的积分 例2 求 解 比较系数 因式分解 有理函数的积分 有理函数的积分 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例3 求 解 (1) (1) 赋值 有理函数的积分 于是 有理函数的积分 注 任意有理真分式的不定积分都归纳为下列 其中A,B, a, p, q都为常数, 分别讨论上述几种类型的不定积分. 并设 四种典型部分分式的积分之和. n为大于1的正整数. 有理函数的积分 有理函数的积分 有理函数的积分 有理函数的积分 有理函数的积分 用递推公式 有理函数的积分 结论: 有理函数的原函数只有三种: 有理函数; 对数函数; 反正切函数. 求不定积分,不仅要认真,而且要有耐心. 有理函数的积分 应重点提高计算的 (1) 部分分式法; 此法一般运算较繁. (2) 拆项法; (分项积分法) (3) 换元法; (4) 配方法. 有理函数积分是三角函数有理式积分、 无理函数积分的基础, 熟练程度和技巧, 一般有以下方法: 有理函数的积分 例4 求 分析 解 原式= 分项 凑微分 从理论上看, 可用部分分式法, 但计算复杂, 故不宜轻易使用, 应尽量考虑其它方法. 约去公因子 有理函数的积分 配方 例5 求 解 原式= 这是有理函数的积分. 如按部分分式法很麻烦. 使分母为单项, 作变换 分析 分母是100 次多项式, 如作一个适当的变换, 而分子为多项,除一下,化为和差 的积分. 有理函数的积分 或 分项 有理函数的积分 求 有理函数的积分 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过 有限次四则运算 构成的函数称之. 一般记为 如 二、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分 和分部积分法讨论过一些. 对于三角函数有理式的积分, 曾用换元法 是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数 回答是肯定的. 有理函数的积分 由三角学知识 可通过变换 事实上,由 半角变换(或称万能代换） 则 表示. 化为有理函数的积分. 有理函数的积分 u的有理函数 有理函数的积分 例6 求 有理函数的积分 结论 比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换. 有理函数的积分 类型 解决方法 作代换去掉根号. 通常先将 配方, 再用三角变换化为三角函数有理式的积分或 直接利用积分公式计算. 有理函数的积分 2. 简单无理函数的积分 例7 求 有理函数的积分 * *