5.二项式展开式性质.ppt

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* 二项式定理 对于(a+b)n = 的展开式有哪些项? 个 (a+b)n = an+ an-1b+ an-2b2+…+ an-rbr+…+ bn 二项式定理 右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式, 它一共有 n+1 项. 其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项,是第r+1 项, 记作 Tr+1 即 Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n) 称为二项展开式的通项公式 (1)展开式各项中a、 b的指数及各项系数的递变规律.但指数和为n (2)通项公式中a、 b的指数及其系数和所在项数之间的关系. 试一试:写出 (1+x)n 的展开式及其通项公式。 总结 1.二项式系数规律: 2.指数规律: (1)各项的次数均为n; (2)二项和的第一项a的次数由n降到0, 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律: 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 定理特征 二项式定理: 4.通项公式: Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n) 右边的多项式叫做的 展开式 解: 第三项的二项式系数为 ,第三项的系数为240. 项的系数:该项所有常数因子的积. 二项式系数: 例3: 的展开式常数项 解: 通项公式: Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n) 练习: 1、求 的展开式的中间两项 解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。          的展开式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是:14:3,求展开式中的第4项 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值; 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 、 相等,且同时取得最大值。 二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的, 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。 (3)各二项式系数的和 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1 解: 例1:已知(1+x)n展开式中x2 的系数等于   x的系数的3倍,求二项式系数最大的项 解: 例2:已知(1-2x)n展开式中二项式系数和   及所有项的系数之和 变式:已知(2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6, 求 ( 1 )奇次项的二项式系数之和   (2)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值   (3)a1+a2+a3+a4+a5+a6          因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值; 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 、 相等,且同时取得最大值。 二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的, 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。 (3)各二项式系数的和 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1 特值思想、不可忽视 二项式定理对任意的数a、b都成 立,当然对特殊的a、b也成立! 考察在 n=1, 2, 3, 4 时,(a+b) n 的展开式的系数规律. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4= . a+b a2+2ab+b2 a3+3a2b+3ab2+b3 我国古代优秀成果介绍: a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 列出上述各展开式的系数: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 规律: (1)表中每行两端都是1 (2)其它各数都是它肩上两数的和. 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20

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