6.6二阶常系数线性微分方程、欧拉方程.ppt

例 解 对应的齐方程的通解为 综上所述，原方程的通解为 例6.54 解 代入原方程得 所以 故原方程的通解为 例6.55 解 根据定理6.7（P315），原方程的特解由 代入原方程得 故原方程的特解为 故原方程的通解为 例6.56 解 代入原方程得 于是 故原方程的通解为 故原方程满足初始条件的特解为 欧拉公式： 定理6.8 的一个特解。 * 6.6 二阶常系数线性微分方程与Euler方程 在二阶线性微分方程 非齐次线性微分方程。而称方程 （6.49） 则称（6.49）为二阶常系数 （6.50） 为与方程（6.49）对应的齐次线性微分方程。 6.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， 即 特征方程 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 由求根公式 由刘维尔公式求另一个解： 于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 3) 特征方程有一对共轭复根： 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式： 由线性方程解的性质： 均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的： 故当特征方程有一对共轭复根 时，原方程的通解可表示为 二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特 征 根 通 解 形 式 例 解 例 解 例 解 故所求特解为 例 解 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手， 开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 （略） 例 解 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手， 开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 取 x 轴如如图所示。 由力学的虎克定理，有 （ 恢复力与运动方向相反 ） 由牛顿第二定律，得 它能正确描述我们的问题吗？ 记拉长后，突然放手的时刻为 我们要找的规律是下列初值问题的解： 从而，所求运动规律为 简谐振动 n 阶常系数齐线性微分方程 形如 的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程， n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 特 征 根 通 解 中 的 对 应 项 例 解 例6.50 求下列方程的通解： 解 故原方程的通解为 故原方程的通解为 6.6.2 二阶常系数非齐线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 它对应的齐方程为 我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。 方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为 单根 二重根 一对共轭复根 你认为方程应该有什么样子的特解？ 假设方程 有下列形式的特解： 则 代入方程 (2) ，得 即 方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。 由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解： 其中： 例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得 比较两边同类项的系数，得 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得 上式即 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为