7.4-有理域上的多项式.pptVIP

§7.4 有理域上的多项式 本原多项式 结论1 任意有理系数多项式和一个整系数多项式相通。 定义1 设?(x)=a0xn+a1xn-1+…+an是一个整系数多项式，若系数a0,a1,…,an互质，则称?(x)是一个本原多项式。 结论2 任意整系数多项式与一个本原多项式相通。 结论3 任意有理系数多项式与一个本原多项式相通。 定理7.4.1 设p是一个质数， ?(x)=a0xn+a1xn-1+…+an g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm 是两整系数多项式。若p整除?(x)g(x)的所有系数，则p或整除?(x)的所有系数或整除g(x)的所有系数。 证明：反证法。假定p不整除?(x)的所有系数也不整除g(x)的所有系数。 证明： 从后往前看?(x)和g(x)，设ai，bj是?(x)，g(x)的系数中第一个不为p整除者。于是， p不整除ai，p∣ai+1，…，p∣an (1) p不整除bj，p∣bj+1，…，p∣bm (2) ?(x)g(x)中xn-i+m-j的系数是：aibj+ai+1bj-1+ai+2bj-2+…+ai-1bj+1+ai-2bj+2+… 此式中，除aibj外，其余各项由(1)及(2)都为p整除，而由p不整除ai，p不整除bj，有p不整除aibj，故p不整除xn-i+m-j的系数，与题设p整除?(x)g(x)的所有系数矛盾。证毕。 定理7.4.2 设?(x)是本原多项式，g(x)是整系数多项式。若?(x)∣g(x)，则以?(x)除g(x)所得之商式必是整系数多项式。 证明：由?(x)∣g(x)知，有： g(x)=?(x)h(x) 不论h(x)是否为整系数多项式，总可以取一个正整数c使k(x)=ch(x)是整系数多项式，故，cg(x)=?(x)k(x)。 此式表示以c乘g(x)的所有系数就是?(x)k(x)的所有系数，从而c整除?(x)k(x)的所有系数。 设c=p1p2…pr是c的质因数分解式。则 p1p2…pr g(x)=?(x)k(x) 因为p1∣p1p2…pr，故p1整除?(x)k(x)的所有系数，但?(x)是本原多项式，故p1整除k(x)的所有系数，从而k(x)=p1k1(x)，其中k1(x)是整系数多项式。因此有： p2…pr g(x)=?(x)k1(x)。 同理有p1整除k1(x)的所有系数，如此下去，消去p1p2…pr 最后得g(x)=?(x)kr(x)。其中kr(x)是整系数多项式。 但由g(x)=?(x)h(x)，有h(x)=kr(x)，故h(x)是整系数多项式。证毕。 Eisenstein定则 定理7.4.2 设?(x)=a0xn+a1xn-1+…+an是整系数多项式，若对一个质数p，p不整除a0，p∣a1，…，p∣an，p2不整除an，则?(x)在有理域上不可约。 证明：用反证法，假定?(x)有一个真因式?(x)，因为?(x)和一个本原多项式相通，不妨假定?(x)本身就是本原多项式。故，?(x)除?(x)所得的商式ψ(x)是整系数多项式。 从而?(x)可分解为非常数的两个整系数多项式之积，即，?(x)=a0xn+a1xn-1+…+an =(b0xr+…+br)(c0xs+…+cs) 于是有a0xn=b0c0xr+s，an=brcs 因为p不整除a0，所以p不整除b0，p不整除c0。因为p2不整除an，所以br和cs中至少有一个不为p整除，不妨设p不整除cs。在b0xr+…+br中从后往前看，设第一个不为p整除的系数为bi。 看(b0xr+…+br)(c0xs+…+cs)中xr-i的系数： bics+bi+1cs-1+bi+2cs-2+… (*) 由题设，这个系数应为p整除。 但p不整除bics，而(*)中其余各项都为p整除，可见p又不能整除这一系数，此为矛盾。证毕。 注意：并不是每一个有理域上的多项式都可用Eisenstein定则判定是否可约，xn+x+1就是一例。 例：由Eisenstein定则知，x2-2在有理域上不可约，所以x2-2不可能有有理根，因而立即推出 是无理数。 例：利用Eisenstein定则，可以写出许多在有理域上不可约的多项式，例如xn+2，x4+2x3-4x+10， xn+2x+2等。 定理7.4.4 对任意n≥1，有理域上有n次质式。 例1： 设p是质数， 用Eisenstein定则证明多项式f(x)=xp-1+ xp-2 +…+x+1在R0上不可约。 证明：f(x)=(xp-1)/(x-1)，令t=x-1，则x=t+1，代入f(x)得 f(x)=(xp-1)/(x-1)