8-1多元函数的极限与连续.ppt

第一节 二、 n元函数 注 2. 求二重极限的常用方法 例2 例4 例5 例6 问： 例7 证明 例9 3. 多元函数的极限 4. 多元函数的连续性 思考题 4. 备用题 例3-1 例3-2 例5-1 讨论函数 例5-2 证 利用极坐标变换，将二重极限化成 时的极限 解 P0 趋向于 ) , ( 0 0 0 y x P ，若 与 k 有关，则可断言: 二重极限 3. 确定极限不存在的方法： 令 ) , ( y x P 沿直线 (1) x y O 找两条特殊路径L1，L2，若 (2) P0 y x O L1 L2 证明下列极限不存在： (1) 证 (1) x y O y = x x y o y=x (2) 分析 ? x y O 证 其值随 k 的不同而变化， 分析 x y O 证 取 其值随k的不同而变化， 故该极限不存在． 分析 x y O y = - x 证 取 下列推导是否正确？ ? 答：不正确. 错误原因： 事实上， 此值与θ有关，? 原极限不存在. 四、 多元函数的连续性 定义8.4 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 如果 则称 的间断点 . 则称函数 连续. 连续. 记作 定义8.5 定义在 D 上, 如果 为函数 函数 不连续. 设二 元函数 则称此函数在 D 上 设函数 例如, 函数 在 (0 , 0)点极限不存在(例5(2)), 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在其定义区域内连续. 在全平面连续. 证 为初等函数 , 故连续. 又 故函数在全平面连续 . 由夹逼准则得 性质1 (有界性与最大最小值定理) 且能取得它在 D 上的最大值 M 及最小值 m ; 闭区域上的多元连续函数有与一元函数类似的性质: 在有界闭区域 D 上连续的多元函数必定在D上有界, 性质2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上连续的多元函数必取得介于它在 D 上的最大值 和最小值之间的一切值. 求函数 的连续域. 解 例8 初等函数的连续域就是其定义域. 解 内容小结 1. 平面点集 邻域 : 区域 连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 有 (1) 定义. (2) 求二重极限的常用方法 1) 利用定义 2) 用变量代换化二重极限为一元函数的极限. 3) 利用夹逼准则，重要极限 4) 利用极坐标变换，将二重极限化成 时的极限 (3) 确定极限不存在的两种常用方法. 1) 函数 2) 闭区域上的多元连续函数的性质: 有界性定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在其定义区域内连续 解 的函数 f(x,y)， n次齐次函数 ) 称为 (1)定义域 (2)定义域 解 解 定义域 设 求 解(方法1) 令 设 求 (方法1) 令 即 解 例2-1 例2-2 解 而 则 故 此函数定义域 不包括 x , y 轴 化为一元函数极限 解 大课课时安排 35 7 8 8 5 7 讲课次数 总次数 十二 十一 十 九 八 章数 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 一、平面点集 n维空间 二、 n元函数 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的极限与连续 第八章 一、平面点集 n维空间 1. 平面点集 点集 称为点 P0 的?邻域. 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合， 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 在平面上, 称为平面点集，记作 (1) 邻域 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若点 P 的任一邻域 U(P) 中既有属于 E的点，也有 则称 P 为 E 的内点, 例如 ； 则称 P 为 E 的外点，例如 ; 则称 P 为 E 的边界点，例如 . 不属于E的点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 内点、外点、边界点 1 2 (3) 聚点 若对任意给定的正数? , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E. 聚点可以为 E 的内点 或E的