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有限元法理论与应用 * * 2010年10月 张 志 强 工作单位:武汉大学动力与机械学院机械工程系 联系方式Email:zhangzhiqiang78@263.net 3、形函数的性质 平面问题的有限单元法 4、刚度矩阵 3、形函数的性质 在上节中，提出了形函数的概念，即 其中 （i , j , m轮换） 现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零，并注意到（9）式中的常数ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、 cj 和am 、bm 、cm 分别是行列式2的第一行、第二行和第 三行各元素的代数余子式，我们有 ⒈ 形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点 为零”的性质，即 在节点i上， 在节点j、m上， (a) (b) (c) 类似地有 (d) ⒉ 在单元的任一点上，三个形函数之和等于1，即 (e) 简记为 (22) 这说明，三个形函数中只有二个是独立的。 ?⒊三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节 点坐标有关、而与其它节点坐标无关。例如，在i j 边上， 有 (23) 利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。 4、刚度矩阵 一. 单元刚度矩阵 为了推导单元的节点力和节点位移之间的关系，可应用虚位移原理对图3-2中的单元e进行分析。单元e是在等效节点力的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为 (a) 假设在单元e中发生有虚位移，则相应的三个节点i、j、m 的虚位移为 且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移相同的位移模式。 故有 (c) 参照（13）式，单元内的虚应变{? *}为 于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为 (d) (f) 而单元内的应力在虚应变上所做的功为 (g) 这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d ）式及（16）式代入上式，并将提到积分号的前面，则有 根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程，即 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得 记 (32) 则有 (33) 上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵[D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常量时，因，所以（28）式可以简化为 [k]e =[B]T [D][B]t? (34) 与前面讨论过的情况类似，单元刚度矩阵[k]中任一列的元素分别等于该单元的某个节点沿坐标方向发生单位位移时，在各节点上所引起的节点力。单元的刚度取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。 将（30）式写成分块形式，即可得到平面应力问题中三角形单元的刚度矩阵 (35) 其中 ( r = i、j、m；s = i、j、m ) (36) 对于平面应变问题，只要将上式中的E、?分别换成E / 1-? 2 和? / 1-? 即可。于是 ( r = i、j、m；s = i、j、m ) (37) 二 整体刚度矩阵 讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析。假设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元按前述方法进行分析计算，便可得到N组形如（33）式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹性体的平衡关系式。为此，我们先引入整个弹性体的节点位移列阵 {?}2n×1 ，它是由各节点位移按节点号码以从小到大的顺序排列组成，即 其中子矩阵 (j) (i =1,2, …, n ) (k) 是节点i的位移分量。 继而再引入整个弹性体的载荷列阵{R}2n×1 ，它是移置到节点上的等效节点载荷依节点号码从小到大的顺序排列组成，即 (l) 其中子矩阵 (i =1,2, …, n ) (m) 是节点i上的等效节点载荷。 现将各单元的节点力列阵{R}e6×1 加以扩充，使之成为2n×1阶列阵 其中，子矩阵 (n) (i, j, m 轮换) (o) 是单元节点i上的等效节点力。 (n)式中的省略号处的元素均为零，矩阵号上面的i, j, m 表示在分块矩阵意义下Ri 所占的列的位置。此处假定了i, j, m 的次序也是从小到大排列的、并且与节点号 码的排序一致。各单