CHP4[1].2方差、相关系数、矩.ppt

第二节 三、相关系数 四、矩 五、条件数学期望，最佳线性预测 现代证券组合理论 马库威茨在50年代引进的均值---方差模型成了现代证券组合理论的基石。 假定有 种证券可以投资，并把它们的收益率看作是随机变量，通常记为 ，相应的均值和方差分别记为 并以 记 与 的相关系数。 一个相当自然的假定是：投资者都追求高收益而规避风险，也即希望有高的均值而不愿有大的方差。 但是，证券市场的历史记录表明，对于个别证券而言，高收益总是伴随着高风险。根本的出路在于采用证券组合，即把全部资金分散投资于各种证券。 假定投资于上述 种证券的资金的比例分别为 则总的收益率为 显然其平均收益率为 而方差则为 因此寻找最优证券组合的问题化为： 求投资比例 ，使 等于某个目标值而 达到最小，或者 控制在一个可以接受的水平而使 达到最大。 马库威茨模型兼顾了金融市场中收益和风险两大要素，而且形式简便，为金融学的发展开创了新局面，他也因此获得了1990年度的诺贝尔经济学奖。 数学期望，方差，协方差是随机变量常用的数字特征，它们都是某种矩。 矩是最广泛使用的一种数字特征，在概率论和数理统计种占有重要地位。常用的矩有两种：原点矩和中心矩 定义 对正整数 ，称 为 阶原点矩。 数学期望是一阶原点矩。 定义 对正整数 ，称 为 阶中心矩。 方差是二阶中心矩。 定理 中心矩和原点矩可相互表达。 事实上， 此外对正数 ，还可以定义 阶原点绝对矩 及 阶中心绝对矩 ，它们较少使用。 对于多维随机变量，可以定义各种混合矩，例如 称为 阶混合中心矩。协方差是二阶混合中心矩，是其中最重要的一种。 证毕 例7 解 密度函数为 故原点矩和中心矩相同。 显然，当 为奇数时， ；当 为偶数时， 设 为服从正态分布 ，求其 阶原点矩和 阶中心矩。 定义 在 的条件下， 的条件数学期望定义为 若以 记随机变量 的如下函数：当 时，它取值 ，这样定义的 是随机变量。 定理 （全期望公式） 这个定理表明：条件期望的期望（作为一个随机变量）的期望等于无条件期望。这是条件期望的一个极端重要的性质，有着广泛的应用。事实上，它对应着全概率公式。 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方差，相关系数，矩 二、 车贝晓夫不等式 一 、方差 三、 相关系数 四、 矩 五、 条件数学期望，最佳线性预测 例如: 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹， 哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 中心 中心 其落点距目标的位置如图， 又如: 甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下： 甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59 乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60 哪个合唱队演出效果好？ 一、方差 方差的算术平方根 为X 的方差。记为D(X)或Var(X)。 定义 设X 是一个随机变量，若 则称 称为均方差或标准差。 存在， 记为 注： 方差实际上就是X的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的期望。 方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。 常用计算公式： 证明： 推论： 常用计算公式： （柯西—施瓦兹不等式） 后面证明 1．（0-1）分布 参数为p 0 1 几种常见分布的方差 2．二项分布 3．泊松分布 4．均匀分布 ⒌ 指数分布 ⒍正态分布 注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学 期望和方差所决定。 特别，当 已知 例1 求 的次数， 对X 独立观察 4 次，Y 表示X 的观察值大于 解 由题意可知 1. 设C是常数,则D(C) =0 ; 2. 若C是常数,则 D(CX )=C 2D(X ); 5. 若X与Y 独立，则 方差的性质 注： 这条性质同样不是一个充要条件。 推广 若X1,X2,…,Xn 相互独立,则 3、D(X +c)= D(X), 这里c为常数。 4、D(X )=0 后面证明 6.