Hermite多项式.ppt

* 5.5 Hermite插值公式 Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点. 为了保证插值多项式 能更好地逼近 ，对 增 加一些约束条件，例如要求 在某些结点处与 相切，即具有相同的导数值. 一、Hermite插值问题 求一个次数不大于n+r+1的代数多项式 ，满足： ------(1) 称以上的插值问题为Hermite插值问题. 注意： 式(1)包含n+r+2个条件，所以能够确定次数不大于 n+r+1的代数多项式 . 二、Hermite插值公式推导 令 ------(2) 其中， 都是 n+r+1次待定多项式，并且它们满足以下条件：. ------(3) ------(4) 显然满足条件(3),(4)的多项式(2)的次数不大于n+r+1次， 且满足插值条件(1). 1.求解 由条件(3)知 是 的二重 零点 . 且由条件(3)知 是 的零点 . 其中，A,B是待定系数 即 ------(5) 由上述两式解得： 将A,B代入式(5)，得 ------(6) 其中， ------(7) 将C代入式(7)，得 -(8) 其中， 2.求解 综合(1)(2)得到 即式(6),(8) 由条件(4)知 是 的二重 零点 . 且由条件(4)知 是 的零点 . -----(9) 将D代入式(9)，得 -----(10) 其中， 由式(2)(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值多项式 其中由式(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值基函数 证明： 存在性已由上面推导，下证唯一性. 反证法，设插值问题式(1)有两个不同的解 令 证明： * * * * *