《数学方法论》数学中使用的一般科学方法.doc

第一章 数学中使用的一般科学方法（共10学时） [教学目的和要求] 要求学生通过本章的学习，掌握在数学研究及数学解题中如何使用观察与实验、比较与分类、归纳与类比这三类科学方法，并能独立运用这些方法解决数学问题。 [教学内容] 观察与实验 （2学时） 1．观察与实验是收集科学事实，获取感性经验，形成、发展和检验科学理论的主要方法 2．观察与实验在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 比较与分类 （2学时） 1. 比较与分类是分析、整理知识的主要方法 2. 比较与分类在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 归纳与类比 （4学时） 1. 归纳与类比是提出数学猜想的主要方法 2. 归纳与类比在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 习题课（2学时） 通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 [教学重点] 观察与实验、比较与分类、归纳与类比方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 [教学难点] 根据已有的事实材料如何运用归纳与类比方法提出数学猜想。 [教学建议] 本章内容是课程的重点内容，建议通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 ［教学过程］ 在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家或是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们的研究和探索中诞生的。 综观人类的科学认识史，大凡以算法为主导的数学发展时期，人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。”（吴文俊），而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。而包括20世纪最伟大的数学家冯·诺伊曼（J.Von.Neumann）在内的许多大数学家都认为数学和其他自然科学一样源于经验。冯·诺伊曼就曾指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，并分为数众多而无意义的支流。唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童。”（引自《数学家谈数学本质》） 菲尔兹奖获得者，日本数学家小平邦彦说过：“物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学，在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。”由此可见，在数学研究和解题中广泛运用一般科学方法是不可避免的。因为数学的研究对象是形式化的思想材料，尽管它起源于经验，有的直接依赖于经验，但毕竟舍弃了事物的具体内容。因此，数学在使用一般科学方法时，必然有所侧重，具有自己的特点。 §2.1数学中的观察与实验 一般的科学方法中，观察和实验是收集科学事实，获取感性经验的基本途经，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。观察与实验在数学研究中也是一种最基本的主要方法之一。 观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获得信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。尽管观察是最原始最基本的方法之一，但它是进行数学思维必须的和第一位的方法，在数学知识的发现和数学问题的解决过程中，观察也是常用的有效方法之一。 在数学活动中，常常通过观察来收集新材料，发现新事实，并通过观察可以认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学方法。 数学中的观察按观察的特征可分为定性观察（对对象的特征、性质、关系的观察）和定量观察（对对象间的数量关系的观察）两种。 实验是根据研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客观规律，人为地变革、控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取经验材料的研究方法。 实验方法在数学活动中有助于数学理论的研究与发展；有助于启发数学解题思路；有助于在数学教学中创设思维情景。 由于实验总是和观察相互联系，观察常常可用实验作基础，而实验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。而实验比观察有更大的优越性，主要表现在以下两个方面： （1）实验方法具有简化和纯化数学对象的作用。因为实验可借助专门仪器工具，人为地变更、控制和模拟客观对象，因而能把握实验者的需要，突出某些主要因素，排除或减少其他次要的、偶然因素的干扰，使研究对象中为研究者所需要的某些属性或关系在简化、纯化的形态下暴露出来，从而准确地认识它。 （2）实验方法可以重复进行或多次再现被研究的对象，以便进行反复的观察。 数学不是实验性的科学，因此不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题的真假性的充分依据，但它们在数学发现及探求数学问题的解决思路的过程是起着重要作用的，欧拉曾经说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎