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东北电力大学 理学院 徐 屹 第五讲 矩阵的代数运算 一、 Matlab的多项式命令 一、 Matlab的多项式命令 一、 Matlab的多项式命令 一、 Matlab的多项式命令 一、 Matlab的多项式命令 一、 Matlab的多项式命令 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 二、矩阵的代数运算 9、三角分解(LU) M AT L A B用如下命令求解系统A x = b:则 x = A \ b。如果A是一个奇异矩阵,或者是近似奇异矩阵,则会给出一个错误信息。 L U分解方法就是令A = L U,其中U是一个上三角矩阵, L是一个带有单位对角线的下三角矩阵。然而为了保证计算的稳定性可以使用部分主元法。也就是说,L通常是一个改变序列的下三角矩阵。 [ L , U ] = l u ( A ) 求上三角矩阵U和交换下三角矩阵L。使得矩阵L和矩阵U满足关系式A=L*U,A可以不方阵。 [ L , U , P ] = l u ( A ) 求上三角矩阵U、有单位对角线的下三角矩阵L和交换矩阵P,满足L*U = P*A。 例21 求矩阵X三角分解后的矩阵。 解:在命令窗口中输入如下命令,并按Enter键确认。 X=[1 2 5 7;2 4 -3 5;9 7 4 1;-2 0 4 5] [L,U]=lu(X) [L,U,P]=lu(X) exno521 10、正交分解(qr) 假设A是n×n的矩阵,那么A就可以分解成:A = Q R ,其中Q是一个正交矩阵, R是一个大小和A相同的上三角矩阵,因此A x = b可以表示为 Q R x = b或者等同于:R x = Q b 。这个方程组的系数矩阵是上三角的,因此容易求解。和高斯消元法比较, Q R因式分解的主要优点在于有更高的稳定性,然而它的数学运算更麻烦一些。 [ Q , R ] = q r ( A ) 产生一个与A维数相同的上三角矩阵R和一个正交矩阵Q,使得满足关系式A = Q R。 [ Q , R , P ] = q r ( A ) 产生一个交换矩阵P,一个上三角矩阵R和正交阵Q,这三个矩阵满足关系式A P=Q R。 [ Q , R ] = q r ( A , 0 ) 对矩阵A进行有选择的的qr分解。当矩阵A为m*n并且mn,那么只会产生具有前n列的正交矩阵Q。,当mn时,等同于[Q,R]=qr(A)。 例22 求矩阵A的正交分解。 解:在命令窗口中输入如下命令,并按Enter键确认。 A=[13 4 7;3 8 9;5 7 11] [Q,R]=qr(A) [Q,R,E]=qr(A) [Q,R]=qr(A,0) exno522 例23 将矩阵 对角化. 程序如下: A=[-1,3,-1;-3,5,-1;-3,3,1] [V,D]=eig(A) V = -0.5774 0.4264 -0.4942 -0.5774 0.6396 -0.6763 -0.5774 0.6396 -0.5462 D = 1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 2.0000 所以P= -0.5774 0.4264 -0.4942 -0.5774 0.6396 -0.6763 -0.5774 0.6396 -0.5462 P-1AP= 1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 2.0000 化二次型为标准形 写出二次型的矩阵,并用eig命令求矩阵的特征值及特征向量 . 例24 化二次型 为标准形. A=[1,1,0,-1;1,1,-1,0;0,-1,1,1;-1,0,1,1] [X,D]=eig(A) X = -0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000
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