§1.5因式分解及唯一性定理.ppt

* * * 一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理 因式分解与多项式系数所在数域有关 如： （在有理数域上） 问题的引入 （在实数域上） （在复数域上） 设 ，且 ，若 不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的 Def. 乘积，则称 为数域P上的不可约多项式. Remark ① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式. 一、不可约多项式 ③ 多项式 　　　　　　 不可约 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. 或 ④ 多项式 不可约，对　　　　　　有 证：设 则 或 即 或 不可约. ，若 则 或 证：若 结论成立 . 若　 　不整除 ，则 Th. 5 不可约， 则必有某个　　　使得 Cor. 若 ，则 可 唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式 1. Th. 则 ，且适当排列因式的次序后，有 其中 是一些非零常数． 二、因式分解及唯一性定理 证：对 的次数作数学归纳. 时，结论成立． 下证　　　　　　的情形. 设对次数低于n的多项式结论成立． （一次多项式都不可约） 若 是不可约多项式. 若 不是不可约多项式，则存在 且 　 　使 结论显然成立． 由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积. 再证唯一性 . ⑴ 可分解为一些不可约多项式的积. 都是不可约 设　　 有两个分解式 多项式. 对 作归纳法． 若 则必有 假设不可约多项式个数为 时唯一性已证. 由(１)　　　　　　　　　　　　　　　　 不妨设　　　　　　 则 使得 (1)两边消去　　 由归纳假设有 即得 总可表成 对 其中　为　　 的首项系数，　　 为互不相同的， 首项系数为1的不可约多项式，　　　 的标准分解式. 称之为　　 2. 标准分解式：