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* 第一章 多项式 * * * §1.8 复数域和实数域上的多项式 一、C上多项式 对于 上的多项式 ,它在F上未必有根, 那么它在C上是否有根? 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。 定理1.8.1(代数基本定理): 任何n(n0)次多项式在C上有n个根(重根按重数计算)。 定理1.8.2: 当n=1时结论显然成立。 证: 假设结论对n-1次多项式成立,则当 是n次多项式时,由于 在C上至少有一个根, 设为 则 , 是C上n-1次 多项式。由归纳假设知 在C上有n-1个根, 推论1:复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的,即C上不可约多项式只能是一次多项式。 推论2: 任一个n(n0)次多项式 在 在C上的根,所以 n个根。 它们也是 在C上有 上都能分解成一次因式的乘积,即 的标准分解式是: 其中 是不同的复数, 是自然数且 韦达定理: 设 是 的两个根,则 C上多项式的根与系数关系: 设 —(1) 是一个n(n0)次多项式,则它在C中有n个根,记 —(2) 比较(1)与(2)的展开式中同次项的系数, 则 为 得根与系数的关系为: 如果 根与系数的关系又如何? 利用根与系数的关系,可以构造一个n次多项式, 使其恰以 为根。 例1.8.1: 它以1和4为单根,-2为2重根。 求一个首项系数为1的4次多项式,使 解:设 则 二、实数域上的多项式 定理1.8.3: 如果 是实数系数多项式 的 与 有相同的重数。 证:设 由于 是 的根, 故有 两边取共轭复数,注意到 和0都是实数, 则有 可见 也是 的根。 非实复根,则 的共轭复数 也是 的根,且 因此多项式: 能整除 ,即存在多项式 , 使 是实系数多项式, 故 也是实系数多项式。 若 是 的重根,由于 , 故 必是 的根, 是实系数,故 也是 的根, 故 也是 的重根。 与 重复应用这个推理方法知 的重数相同。 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 定理1.8.4 每个次数 的实系数多项式都可 乘积。 就是一次因式子,结论成立。 若 , 证明: 的次数作数学归纳。 对 假设对结论次数n的多项式结论成立, 现考虑 ,由代数基本定理, 有一复根 。 若 为实数 则 ,其中 不为实数,则 若 也是 的复根,于是 设 ,则 是一个二次实系数不可约多项式,且 不可约多项式的乘积,故结论成立。 由归纳假设知 可分解成一次因式与二次 。即在 上, 推论3 中不可约多项式除一次多项式外, 只有含非实共轭复根的二次多项式。
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