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* 第一章 多项式 * * * §1.8 复数域和实数域上的多项式 一、C上多项式 对于 上的多项式 ，它在F上未必有根， 那么它在C上是否有根？ 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。 定理1.8.1（代数基本定理）： 任何n（n0）次多项式在C上有n个根（重根按重数计算）。 定理1.8.2： 当n=1时结论显然成立。 证： 假设结论对n-1次多项式成立，则当 是n次多项式时，由于 在C上至少有一个根， 设为 则 ， 是C上n-1次 多项式。由归纳假设知 在C上有n-1个根， 推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。 推论2： 任一个n（n0）次多项式 在 在C上的根，所以 n个根。 它们也是 在C上有 上都能分解成一次因式的乘积，即 的标准分解式是： 其中 是不同的复数， 是自然数且 韦达定理： 设 是 的两个根，则 C上多项式的根与系数关系： 设 —（1） 是一个n（n0）次多项式，则它在C中有n个根，记 —（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数， 则 为 得根与系数的关系为： 如果 根与系数的关系又如何？ 利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式， 使其恰以 为根。 例1.8.1： 它以1和4为单根，-2为2重根。 求一个首项系数为1的4次多项式，使 解：设 则 二、实数域上的多项式 定理1.8.3： 如果 是实数系数多项式 的 与 有相同的重数。 证：设 由于 是 的根， 故有 两边取共轭复数，注意到 和0都是实数， 则有 可见 也是 的根。 非实复根，则 的共轭复数 也是 的根，且 因此多项式： 能整除 ，即存在多项式 ， 使 是实系数多项式， 故 也是实系数多项式。 若 是 的重根，由于 ， 故 必是 的根， 是实系数，故 也是 的根， 故 也是 的重根。 与 重复应用这个推理方法知 的重数相同。 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 定理1.8.4 每个次数 的实系数多项式都可 乘积。 就是一次因式子，结论成立。 若 ， 证明： 的次数作数学归纳。 对 假设对结论次数n的多项式结论成立， 现考虑 ，由代数基本定理， 有一复根 。 若 为实数 则 ，其中 不为实数，则 若 也是 的复根，于是 设 ，则 是一个二次实系数不可约多项式，且 不可约多项式的乘积，故结论成立。 由归纳假设知 可分解成一次因式与二次 。即在 上， 推论3 中不可约多项式除一次多项式外， 只有含非实共轭复根的二次多项式。