§4.2相似矩阵及特征值和特征向量的性质.ppt

* §4.2 相似矩阵及特征值和特征向量的性质 上节引入了特征值和特征向量的概念, 那么有什么性质呢? 本节讨论 他们 的性质, 并 着眼 相似矩阵 的性质. * 4.2.1、相似矩阵 * 相似矩阵与相似变换的性质 证明 4.2.2、 特征值和特征向量的性质 * 推论 若 阶方阵A与对角阵 * 证明 则 即 类推之，有 * 把上列各式合写成矩阵形式，得 * 注意 　　１.　属于不同特征值的特征向量是线性无关 的． 　　２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． 　　３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值． * 推论 如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A有n个线性无关的特征向量． * * * 注 (1)方阵A的主对角线的元素之和称为A的迹。此例表明A的所有特征值之和为A的迹，而A的所有特征值之积为|A|。 (2)由此容易得到：方阵A可逆的充要条件是A的所有特征值都不为零。 例４ 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 　的特征向量，则 证明 再继续施行上述步骤 次，就得 * * 从定义出发 省略不讲了 * 例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为 解 * 证明（用反证法） 从定义出发 省略不讲了 * * * * * 四、小结 １．相似矩阵 　 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： * ２．相似变换与相似变换矩阵 　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算． 　　相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成　　　，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．