§4[1][1].4有理函数的积分.ppt

* 提示： 解 例 * 说明： 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. 请看如下积分: * 例 求 解 法一 回代 * 法二 不用万能代换公式 比较以上两种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换. 结论 * (1) 尽量使分母简单. 基本思路 或分子分母同乘以某个 因子, 把分母化为 的单项式, 或将分母整个看成一项. (2) 尽量使 的幂降低. 用倍角公式或积化和差公式以达目的. 为此常利 有理函数的积分 * 类型 解决方法 作代换去掉根号. 通常先将 配方, 再用三角变换化为三角函数有理式的积分或 直接利用积分公式计算. 2. 简单无理函数的积分 * 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 解 简单无理函数的积分 例 * 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例 设 ? 即x?u3?2? 则 * 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例 设x?t6? 于是dx?6t5dt? 从而 * 回代 例 解 令 原式= * 例 求 解 先将无理函数的分子或分母有理化. 分析 原式 * 1993年考研数学一, 5分 解 令 分部积分 回代 * 解 法一 三角代换 法二 倒代换 * 2. 简单无理式的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 1. 三角有理式的积分.（万能代换公式） （注意：万能公式并不是最佳代换） 有理函数的积分 三、小结 可化为有理式的积分. * 第五节 积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分 已把常用积分公式汇集成表, 以备查用. 如 P362附录Ⅲ . 积分表的结构: 按被积函数类型排列 积分表的使用: 1) 注意公式的条件 2) 注意简单变形的技巧 注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple 等数学软件的符号演算功能求得 . 的效率, 积分表的使用 第四章 * 例1. 求 解: 应使用 P368 公式105 . * 例2. 求 解法1 令 则 原式 (P364 公式 37) * 例2. 求 解法2 令 则 原式 ( P363 公式 21 ) * 例3. 求 解: 令 则 原式 * (P363 公式21) (P363 公式19) * §4.4 有理函数的积分 有理函数的积分 可化为有理函数的 积分举例 rational function * 基本积分法: 换元积分法; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 例如,下列函数积分都不是初等函数 直接积分法; 在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域 有重要应用的积分, 都属于“积不出”的范围. * 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之. 一、有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 真分式; 假分式. n n n a x a x a + + + - L 1 1 0 m m m b x b x b + + + - L 1 1 0 * 例 多项式的积分容易计算. 真分式的积分. 只讨论: 多项式 真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 若干部分分式之和 * 对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用. 定理 * 部分分式(最简分式). * 用此定理有理函数的积分就易计算了. 且由下面的例题可看出: 有理函数的积分是初等函数. 注 系数的确定,一般有三种方法: (1) 等式两边同次幂系数相等; (2) 赋值; (3) 求导与赋值结合使用. 有理函数的积分 * 例 求 解 由多项式除法,有 说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分. 假分式 有理函数的积分 * 例 求 解 比较系数 因式分解 有理函数的积分 * 有理函数的积分 * 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例 求 解 (1) (1) 赋值 * 于是 * 例 求 解 比较系数 二次质因式 * * 注 任意有理真分式的不定积分都归纳为下列 其中A,B, a, p,