三次B样条曲线.ppt

曲线和曲面 2. B 样条曲线 1. 样条函数概念 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。 1.1 一般样条函数的定义 1.2 三次样条函数 1.3 二次样条函数 2. B 样条曲线 以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。 2.1 B 样条曲线的定义 B 样条曲线示例 B 样条曲线示例 B 样条曲线示例 B 样条曲线示例 B 样条曲线示例 B 样条曲线示例 2.2 B 样条曲线基函数的性质 B样条函数基函数为： B 样条曲线的基函数 B 样条曲线的基函数 2.3 B 样条曲线的性质 1. 局部性 根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对 整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线时修改某一局部的形状带来了很大的方便。 B 样条曲线的性质 2.几何不变性 由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。 3. 连续性 当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h-1阶几何连续(G n-h-1)。 B 样条曲线的性质 4. 对称性 根据B样条曲线的基函数的对称性可推导 B 样条曲线的性质 5.递推性 n次B样条曲线段的递推曲线表示形式： B 样条曲线的性质 6. 保凸性 B样条曲线和Bezier曲线一样，也具有保凸性。即当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时， Pk,n(t) 是一条平面凸曲线。 B 样条曲线的性质 7. 凸包性 当t∈〔0，1〕时，有0≤Gi,n(t)≤1 (i=0，1，…，n) 和 ，因此，根据凸包定义可知，对任何 t∈〔0，1〕，Pk,n(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。 B 样条曲线的性质 8.变差缩减性 2.4 二次B样条曲线 二次B 样条曲线 二次B样条曲线的矩阵表示为： 二次B 样条曲线 二次B 样条曲线 3. 当P0，P1，P2三顶点共线时，P0,2(t)(t∈〔0，1〕) 即蜕化为一段直线。 4. 当给定一组顶点P0，P1，…，Pm(m＞2)，若存在 Pi=Pi+1(0＜i≤m-2)，则二次B样条曲线经过顶点Pi， 且在此处是尖点。 2.5 三次B样条曲线 三次B样条曲线 性质1：端点位置 三次B样条曲线 2.6 二、三次B样条曲线的应用 在曲线拟合设计中，B样条曲线主要可用于实验数据 平滑和要求局部交互式修改的自由曲线设计。当然，二、 三次B样条曲线及其变型，几乎可以应用到所有的要求具 有一次或二次几何连续的曲线造型场合。 (1)要求过插值端点； (2)封闭的二、三次B样条曲线； (3)插值二、三次B样条曲线； 2.7 非均匀 B 样条曲线 前面介绍的B样条曲线实际上称为均匀(或等距节点)B样条曲线。B样条曲线是由B样条函数演化而来的。关于B样条函数的理论十分的丰富，现在简单的给出B样条基函数的递推公式： 非均匀 B 样条曲线 设 为给定空间的n个点,称下列参数曲线 为k阶(k-1次)的B样条曲线。称折线 为P(t)的控制多边形。 非均匀B样条曲线同样具有局部性，几何不变性，连续性，对称性，递推性，凸包性和变差缩减性等性质。 给定参数 t 轴上的一个分割，