数学物理方程第二版第一章教案.pptx

§1 方程的导出、定解条件;物理背景： 波的传播和弹性体振动;§1.1 弦振动方程的导出 首先，考察弦横振动这个物理问题： 给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。 把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化假设，以便抓住问题的最本质特征。;基本假设： 1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。 弦可以视为一条曲线，线密度为常数。 （细弦） 2. 弦在某一个平面内作微小横振动。 弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。 （微幅） 3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。 弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形与张力的关系服从虎克(Hooke)定律。 （横振动） 基本规律： 牛顿第二定律: F=ma 作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度 冲量定律 : 作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化 ;研究对象：;在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：;进一步由Δt， Δx 的任意性，有;类似地，三维波动方程可以表示为：;简化假设：;;………一维波动方程;非均匀弦的强迫横振动方程; 列出微分方程的目的是要从微分方程中求得具体问题的解或者研究解的性质。前面我们看到，弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。 例如: 在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0， 这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为;要在区域;波动方程的初始条件;(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。; 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。;定解问题; 定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性。如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定的，我们就称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。对定解问题的适定性进行一定的分析，可以帮助我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件是否合适以及对一个偏微分方程应该如何指定定解条件等问题，同时也可以对求解定解问题起到一定的指导作用。 除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。