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第五章 对称群 第六章 李代数基础 (3) 如果 α 和 β 是半单李代数的非零根, 则 6. Nαβ 的确定 设半单李代数的根链为 则 7. 根向量的图形表示 (1) 半单李代数根向量的性质 如果 α 是根向量, 则 –α 也是根向量; 如果α 和 β 是根向量(非零根), 则 c) 如果α 和 β 是根向量(非零根), 则 d) 定义两个根向量α 和 β 之间的夹角和长度比分别为 取β 为长度较长根向量; 考虑到 α 和 –α均为根向量, 只需 取锐角. 可得下述几种情况 秩 l 2的单李代数: 典型李代数的根系 l 维根空间中, 引进 l 个相互正交的单位向量 根向量的图形表示 1秩单李代数: 李代数 A1 , l =1. (2) 2秩半单李代数: (4) 例外李代数及其根系 8. 素根和邓金图 对于给定的半单李代数, 有关其根向量的信息, 可以从所有 根向量集合的一个子集合得到. 正根: 在某个任意选定的基底下, 如果根 α+ 的第一个 不为零的坐标是正的, 则称α+ 为正根. 通常, 组成根图 的一半非零根是正根. 所有正根和的一半记为 素根的概念 素根(单纯根): 如果一个正根不能分解为另外两个正根 之和, 则称这个正根是素根. 上述B2 的4个正根中, 只有(0,1)和(1,–1)是素根. 例: 李代数B2 的8个非零根: 中, (1,0), (1,1), (0,1), (1,–1) 是正根. 素根系: 所有素根组成的集合, 用п 来表示. 对于秩为 l 的半单李代数, 共有 l 个素根, 它们是线性无关的, 构成根空间一组基, 每一个正根都表示为 关于素根的定理 (1) 如果 α和β 是半单李代数的两个素根, 则 (2) 如果 α和β 是半单李 代数的两个素根, 则这两个 素根的夹角只能取 90° , 120° , 135° 和 150° , 设 β 是长根, 则 典型李代数的素根系: 素根与基底选取有关 * 行置换算子集: 杨盘T的所有的行置换算子组成的集合. 列置换算子集: 杨盘T的所有的列置换算子组成的集合. 杨算子: 引理1: 设T和T?是两个杨盘, 由置换r相联系, 即T?=rT. 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变 到sT中的(k,l)处, 则s?=rsr–1作用在T?上将T?中位于(i,j) 处的数字变到s?T?中的(k,l)位置. 推论: 设T和T?是由置换r相联系的两个杨盘, 即T?=rT, 则有下列关系成立 引理2: 设T是杨盘, p和q分别是T的任意行置换和列 置换, T? 与 T 通过置换 pq 相联系, 即T?=pqT. 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在 T? 的同一列. 设两个杨盘由置换 r 相联系,即T?=rT. 如果 T 中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T? 的同 一列, 则置换 r 必可表示为 r = pq. 引理3: 设 T 和 T ? 是属于不同杨图 [λ] 和 [λ ?] 的两 个杨盘, [λ][λ ?], 则总能找到两个数字同时出现在 T 的同一行和 T ? 的同一列. 引理4: 如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘 T? 的同一列, 则这两个杨盘的杨算子满足 推论: 属于不同杨图的两个杨盘 T 和 T ?, 必有 引理5: 设 是置换群 Sn 的群代数中的一个向量. 如果对于杨盘 T 的任意 行置换 p 和列置换 q, 满足 则 x 与杨算子 E(T) 差一个常数因子, 即 引理6: 对应于杨盘 T 的杨算子 E(T) 是一个本质的本原幂等元. 相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个不可约表示空间, 其维数是 n! 的因子. 引理7: 同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的. 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的. 5.2 对称群的不可约表示 定理: 杨算子E(T)是本质幂等元, 相应的不变子空间 RG E(T) 是对称群Sn 的一个不可约表示空间, 给 出Sn 的一个不可约表示; 由同一杨图的不同杨盘 给出的表示是等价的, 而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的. 标准杨盘: 在杨图上, 每一行数字按从左向右增大, 每一列数字按从上到下增大的顺序来填充, 得到的杨盘称为标准杨盘. 记作 定理: 杨图[λ]对应的不可约表示的维数等于该杨图的