二项式定理(binomialtheorem).ppt

“杨辉三角”的来历及规律 * * * * * * * * * * * * * 二项式定理 Binomial theorem 引入课题 今天是星期四，试问22012天之后是星期几呢？ 引入课题 1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等于什么？ (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. 2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统称为二项式(binomial)，其一般形式为(a＋b)n（n∈N*）.由于在许多代数问题中需要将它展开，因此，研究(a＋b)n展开后的表达式的一般结构，就是一个具有重要意义的课题. 探究（一）：二项式定理 问题1：将(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)按多项式乘法法则展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？其中不取b，取一个b和一个a，取二个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(a＋b)2的展开式是什么？ 问题2：类似地，将(a＋b)3＝(a＋b) · (a＋b)(a＋b)按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少项？其中不取b，取一个b和二个a，取二个b和一个a，取三个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(a＋b)3的展开式是什么？ 问题3：在(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数？由此可得(a＋b)4的展开式是什么？ 问题4：根据归纳推理，你能猜测出 (a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么吗？ 问题5：如何证明这个猜想？ (a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。 对于每一项an-kbk ，它是由n-k个(a+b)选了a， k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。 由分步计数原理可知展开式共有2n项 （包括同类项）， 其中每一项都是an-kbk的形式，k=0，1，…，n； 定理的证明 问题6：公式 叫做二项式定理binomial theorem ，等式右边叫做二项展开式，其中各项的系数 (k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数binomial coefficient ，那么二项展开式在结构上有哪些基本特征？ 共有n＋1项；字母a的最高次数为n且按降幂排列；字母b的最高次数为n且按升幂排列；各项中a与b的指数幂之和都是n；各项的二项式系数依次为 ，且与a，b无关. 问题7：根据二项式定理，(1＋x)n (n∈N*)等于什么？ 问题8：(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？ 探究（二）：二项展开式的通项 问题1：在二项展开式中，用Tk表示从左到右第k项，那么Tk和Tk＋1分别等于什么？ 问题2：在(a＋b)n的二项展开式中， 叫做二项展开式的通项，那么(a－b)n的二项展开式的通项是什么？ 问题3：(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什么？ 问题4：(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么？ 二项式系数： ， 系数： . 经典范例 例1 求 的展开式. 例2 求 的展开式中x3的系数. －84 例3 已知 的展开式中 第5项与第3项的二项式系数之比为14︰3，求展开式中所有的有理项. 杨辉三角 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… …… 课堂小结 1.二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中n是正整数，a，b可以任意取值，也可以是代数式. 2.(a＋b)n的展开式统一规定按a的 降幂排列，各项的系数与a，b的取值有关，各项的二项式系数与a，b的取值无关. 3.二项展开式的通项 是研究二项展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展开式中的第 k＋1项.对于求展开式中某些特定的项，一