二项式定理-计数原理.ppt

学案3 二项式定理 返回目录 1.二项式定理的内容 (a+b)n= . 右边的多项式叫做(a+b)n的 ，其中的系数 (r=0,1,…,n)叫做展开式的 ， 式中的第r+1项 an-rbr叫做二项展开式的 ，记作Tr+1= (其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*). 二项展开式 二项式系数 通项 2.二项式系数的性质 （1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 . （2）增减性与最大值由 知，当k 时，二项式系数是逐渐的 ，由对称性知它的后半部分是逐渐的 ，且在中间取最大值. 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 相等，且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和为2n，即 =2n. （4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 返回目录 增大 减小 （1） 的展开式中x5的系数为 . （2）若在(1+ax)5的展开式中x3的系数为-80,则a= . 返回目录 考点一 求二次展开式的特定项 【分析】由通项公式列方程可得. 【解析】（1）二项展开式的通项为 令8- =5,则r=2, ∴T3=(-1)2· ·x5=28x5, ∴x5的系数为28. （2）在二项展开式中通项公式Tr+1= (ax)r = ·ar·xr, 令r=3,得x3的系数: ·a3=-80, ∴a3=-8,∴a=-2. 返回目录 【评析】 （1）二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数. （2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力. 返回目录 若(x+ )n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120 B(由展开式的二项式系数之和为64,得2n=64,得n=6,则展开式中的第r+1项 Tr+1= x6-r(x-1)r= x6-2r, 令6-2r=0,得r=3. 则展开式中的常数项为T4= =20. 故应选B.) 返回目录 ＊对应演练＊ B （1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 【分析】根据条件可求出n；再根据n的奇偶性，确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式组确定. 返回目录 考点二 增减性与最值问题 【解析】T6= (2x)5,T7= (2x)6, 依题意有 ·25= ·26 n=8. ∴(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为 T5= (2x)4=1 120x4, 设第r+1项系数最大,则有 ·2r≥ ·2r-1 ·2r≥ ·2r+1   返回目录 2(8-r+1)≥r r≤6 r+1≥2(8-r) r≥5 又∵r∈N，∴r=5或r=6, ∴系数最大的项为T6=1 792x5，T7=1 792x6. 返回目录 5≤r≤6. 【评析】①求二项式系数最大的项，要根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大.②求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情