分析力学五一.ppt

* 第五章 刚体的运动 刚体：特殊的质点组——任何两个质点之间的距离保持 不变 刚体的形状和大小都不变化(自由度降低) 引入两套坐标系，确定刚体在空间的位置，即 静止坐标系 固连在刚体中的坐标系(参与刚体的全部运动)， 它的原点在静止坐标系中的位矢为 。 注：下图中oxyz为从静止坐标系过渡动坐标系的坐标系 刚体相对于静止坐标系的位置完全由运动坐标系的位置来确定(由于刚体中任意两点的距离保持不变，确定了动坐标系，则刚体上各点的位置就完全确定)。 确定运动坐标系的原点o： R0 ——3个自由度(平动) 确定运动坐标系的三个轴：ox1、ox2 、ox3由3个独立的角 度确定——3个自由度(转动) 刚体有6个自由度 重点：欧勒角 如图2：过o作oxyz和Ox0 y0 z0平行。分三步将oxyz转 到ox1 x2 x3的位置。 1. 将oxyz绕z轴转 角，使ox 转到垂直于zx3平面的 位置oN； 2. 绕oN轴转 角，使z轴转到ox3位置； 3. 再绕 ox3轴转 角，使oN轴转到 ox1位置。 (ox1 与 ox3 确定， 则 ox2 确定) 定义 为欧勒角( ：确定自转轴位置， ：确 定绕自转轴转动的角度) 刚体的基本运动形式：平动、转动 平动规律：质量集中在质心上的单质点运动规律 重点：转动 转动的特点：绕不同轴的转动之间有相互关联 §1.5.1 刚体的角速度、角动量与转动能量 一、不同转轴转动之间的关联 角速度矢量 线位移：沿不同方向彼此独立 A+B=B+A——平行四边形法则 但：对转动，绕不同轴的转动，彼此之间互相关联。 例子：书的大角度转动。 显然：绕不同轴转动有限角度，与先后次序有关，并不 独立。 结论：两个有限转动的合成不服从平行四边形法则，不 能看成矢量。 注意：矢量——有大小、方向，且满足平行四边形法则 的量。 然而可证明：无限小角位移是矢量。 设：刚体绕通过o点的轴线转动了一个微小角度 。 沿轴线方向作一有向线段： ， 。这一 转动引起矢径r的变化 则： (转动 后) 转动：空间变换 转动变换的数学表示： 设： ——绕两个不同轴的转动 1. 先转 ，后转 时，r 变为 2. 先转 ，后转 ，r 变为 两者之差： 对于无限小转动： 略去二阶小量 体现关联： 顺序不一样，结果不一样) 则 即 —— 两个无穷小转动与次序无关：两个无 穷小角位移相加服从平行四边形法则 (r：任意) 结论：无穷小角位移是矢量。 二、角速度矢量 定义： ——瞬时角速度(矢量) 现证明：角速度 与转动中心(转轴)的选择无关。 指的是：转动是一样的，坐标系是任意的。 设：Oxyz——固定坐标系；ox1 x2 x3——运动坐标系 o点对Oxyz的矢径：R0 刚体上点P的矢径：R——对Oxyz；rop ——对ox1 x2 x3 ：绕o点转动的角位移。 矢径 rop 在转动 后所发生的位移为 ，则 固定坐标系： P点速度 ；o点速度 ( ω 是以o点为中心的角速度) (平动+转动) 对另一点o，且oo = a，同理有 现设：o 为转动中心，以o 为原点的坐标系中，P点 的矢径为rop 则 rop= rop+ a 另一方面， o 代替o时，有 ( 是以 点为中心的角速度) 于是