二次型最优控制器设计.ppt

LQR系统最优控制器设计的Matlab实现及应用 为了使线性系统更好地适应实际的需要，本文简述了线性二次型最优控制器原理及设计方法，介绍了加矩阵Q和R的一些选择规则，通过Matlab仿真讨论了参数Q和R变化对最优控制系统的影响，证实了该设计所得到的控制器效果较好，而且便于实现，达到了设计目的。 LQR即线性二次型调节器，其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。LQR最优设计指设计出的是状态反馈控制器K要使二次型目标函数J取最小值，而K由权矩阵Q与R唯一决定，故此Q、R的选择尤为重要。LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。特别可贵的是，LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律，易于构成闭环最优控制。而且Matlab的应用为Matlab理论仿真提供了条件，更为我们实现稳、准、快的控制目标提供了方便。 1 LQR最优控制器的系统设计 假设线性系统状态空间描述为： 其中X为nx1状态向量u为mx1输入向量。 不失一般性考虑一个二次型目标函数: 式中，Q、R称为加权矩阵，且Q为nxn维正半定阵，R为mxm维正定阵。 最优控制即寻求控制作用u使目标函数J最小。 应用极小值原理，可以得出最优控制作用： ，其中，P为代数Riccati方程: 的正半定解。 2 Q,R的选择原则 由原理知，要求出最优控制作用u，除求解Riccati方程外，加权矩阵的选择也是至关重要的。而Q、R选择无一般规律可循，一般取决于设计者的经验，常用的所谓试行错误法，即选择不同的Q、R代入计算比较结果而确定。这里仅提供几个选择的一般原则： 1）Q、R都应是对称矩阵，Q为正半定矩阵，R为正定矩阵。 2）通常选用Q和R为对角线矩阵，实际应用中，通常将R值固定，然后改变Q的数值，最优控制的确定通常在经过仿真或实际比较后得到。当控制输入只有一个时，R成为一个标量数（一般可直接选R=1）。 3）Q的选择不唯一。这表明当得到的控制器相同时，可以有多种Q值的选择，其中总有一个对角 线形式的Q。 3 LQR最优控制器系统设计的Matlab实现方法 Matlab控制系统工具箱提供了完整的解决线性二次型最优控制问题的命令和算法，其中函数lqr(）可以直接求解二次型调节器问题，命令格式如下: 其中K为最优反馈增益矩阵，P为Riccati方程的唯一正定解，E为A-BK的特征值。 4 实际应用或实例 倒立摆的数学模型的建立： 小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。 倒立摆系统的模型参数如下： M 小车质量 1.32Kg； m 摆杆质量 0.07Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆转动惯量 0.00093kg*m*m 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2m T 采样频率 0.010s 下面N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为： (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （2） 把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程： （3） 为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程： （4） 力矩平衡方程如下： （5） 方程中力矩的方向，由于 ， ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： （6） 假设 与1（单位是弧度）相比很小，即 ，则可进行近似处理： 用 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下： （7） 对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到： （8） （推到时假设初始条件为0）则， 摆杆角度和小车位移的传递函数为： 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为： 由以上数据可以得到系统的状态方程如下： 下面来选择LQR 最优控制器的2个控制参数Q和R。这2个参量用来平衡输入量和状态量的权重。在本例中，取R=1, Q=diag(1,0,1,0)，运行下面的Matlab程序: