创新设计2011第十章排列组合二项式定理10-57.ppt

掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题 1．二项式定理 这个公式所表示的定 理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的 ． 2．二项式系数：二项展开式中有n＋1项，各项的系数 (r＝0,1，…n) 叫 系数． 3．通项： an－rbr叫二项展开式的 ，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr. 4．二项式系数的性质 (1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ． (2)增减性与最大值． ＝ 相对于 的增减情况由 决定， ＞1?k＜ 当k＜ 时，二项式系数逐渐 ．由对称性知它的后半 部分是逐渐减小的，且在中间取得 ； 当n是偶数时，中间一项 取得最大值；当n是奇数时， 中间两项 取得最大值． (3)各二项式系数和： 1． 若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：(x－1)4＝1＋ ＋x4 ＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4 ∴a0＝1，a2＝ ＝6，a4＝1，∴a0＋a2＋a4＝8. 答案：B 2． 若( )n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为(　　) A．－540 B．－162 C．162 D．540 解析：由已知条件(3－1)n＝64，则n＝6， Tr＋1＝ 由3－r＝0得r＝3，则展开式中的常数项为 ＝－540. 答案：A 3． 在(x－ )2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S， 当x＝ 时，S等于(　　) A．23 008 B．－23 008 C．23 009 D．－23 009 解析：(x－ )2 006＝x2 006＋ 由已知条件S＝ ＝－22 005·21 003＝－23 008. 答案：B 4． (2010·上海春)在 的二项展开式中，常数项是________． 解析：Tr＋1＝ ，由题意知12－3r＝0， ∴r＝4，故常数项为T5＝60. 答案：60 对于二项展开式(a＋b)n＝ 中， 叫做通项，要注意此项是展开式中的第r＋1项，同时要注意此项的二项式系数与系数的区别，利用通项实际上是从局部解决与二项式定理的相关问题． 【例1】 若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋…＋1(n∈N)．且a∶b＝3∶1， 那么n＝________. 解析：a＝ ，b＝ 又a∶b＝3∶1， 所以 ， ＝3，解得n＝11. 答案：11 变式1. 在二项式(1－3x)n的展开式中，若所有项的系数之和等于64， 那么n＝______，这个展开式中含x2项的系数是______． 解析：本题考查二项式定理知识．令x＝1得二项展开式各项系数和， 即(1－3)n＝64?n＝6，因为Tr＋1＝ ， 令r＝2得其系数为 ＝135. 答案：6　135 利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题． 【例2】 若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋