创新设计2011第十章排列组合二项式定理10-57.ppt

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掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题 1.二项式定理 这个公式所表示的定 理叫二项式定理,右边的多项式叫(a+b)n的 . 2.二项式系数:二项展开式中有n+1项,各项的系数 (r=0,1,…n) 叫 系数. 3.通项: an-rbr叫二项展开式的 ,用Tr+1表示,即通项Tr+1=Can-rbr. 4.二项式系数的性质 (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数 . (2)增减性与最大值. = 相对于 的增减情况由 决定, >1?k< 当k< 时,二项式系数逐渐 .由对称性知它的后半 部分是逐渐减小的,且在中间取得 ; 当n是偶数时,中间一项 取得最大值;当n是奇数时, 中间两项 取得最大值. (3)各二项式系数和: 1. 若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为(  ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:(x-1)4=1+ +x4 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 ∴a0=1,a2= =6,a4=1,∴a0+a2+a4=8. 答案:B 2. 若( )n的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为(  ) A.-540 B.-162 C.162 D.540 解析:由已知条件(3-1)n=64,则n=6, Tr+1= 由3-r=0得r=3,则展开式中的常数项为 =-540. 答案:A 3. 在(x- )2 006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S, 当x= 时,S等于(  ) A.23 008 B.-23 008 C.23 009 D.-23 009 解析:(x- )2 006=x2 006+ 由已知条件S= =-22 005·21 003=-23 008. 答案:B 4. (2010·上海春)在 的二项展开式中,常数项是________. 解析:Tr+1= ,由题意知12-3r=0, ∴r=4,故常数项为T5=60. 答案:60 对于二项展开式(a+b)n= 中, 叫做通项,要注意此项是展开式中的第r+1项,同时要注意此项的二项式系数与系数的区别,利用通项实际上是从局部解决与二项式定理的相关问题. 【例1】 若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+…+1(n∈N).且a∶b=3∶1, 那么n=________. 解析:a= ,b= 又a∶b=3∶1, 所以 , =3,解得n=11. 答案:11 变式1. 在二项式(1-3x)n的展开式中,若所有项的系数之和等于64, 那么n=______,这个展开式中含x2项的系数是______. 解析:本题考查二项式定理知识.令x=1得二项展开式各项系数和, 即(1-3)n=64?n=6,因为Tr+1= , 令r=2得其系数为 =135. 答案:6 135 利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明,以及二项式系数性质的证明等问题. 【例2】 若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+

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