大学数学应用基础——高等数学中册湖南教育出版社.ppt

第六章 向量代数与空间解析几何 6.1 向量及其线性运算 6.2 向量的向量积 6.3 平面与直线 6.4 曲面与曲线 例3 求xOy面上的椭圆 绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程. 解 因为z轴是旋转轴，所以在方程 以 中，保持z不变， 代y，得 即所求的旋转曲面的方程为 6.4 曲面与曲线 旋转椭球面 上页 下页 首页 例4 求xOy面上的抛物线 绕y轴旋转而成的旋转 曲面的方程. 解 因为y轴是旋转轴，所以在方程 中保持y不变，以 代x，得所求曲面方程为 6.4 曲面与曲线 旋转抛物面 上页 下页 首页 例5 求yOz面上的直线z=ky(k0)绕z轴旋转一周而成的旋转 曲面方程. 解 因为z轴是旋转轴，所以在方程z=ky中保持z不变，以 代y，得所求旋转曲面的方程为 对上式平方，得 6.4 曲面与曲线 圆锥曲面 上页 下页 首页 凡是过xOy平面内圆 且平行于z轴的直线 3. 柱面 例6 方程 在空间表示怎样的曲面？ 解 方程 在xOy平面上表示一个圆. 上一点 都在方程 所表示的空间图形上. 方程 所表示的空间图形可看作是 由平行于z轴的一条直线沿 xOy平面内的圆移动而成的 曲面，称为圆柱面. 6.4 曲面与曲线 上页 下页 首页 一动直线L沿定曲线C移动，且始终与定直线l平行，则称动直线L的轨迹为柱面.定曲线C叫作柱面的准线，动直线L叫作柱面的母线. 定义3 6.4 曲面与曲线 上页 下页 首页 例5 已知三点A(1,1,1),B(2,0,-1),C(-1,1,2),求三角形ABC的面积. 解 三角形ABC的面积等于以向量 为边的平行 形面积的一半，根据向量积模的几何意义，得 6.2 向量的向量积 上页 下页 首页 6.3 平面与直线 1. 平面 2. 直线 3. 平面、直线间的夹角 4. 点到平面的距离 上页 下页 首页 平面的 的方程 6.3 平面与直线 (1) 平面的点法式方程 如果一个非零向量n垂直于一个平面 ,则称n为平 面 的法向量.平面的法向量常记作n=(A,B,C). 1. 平面 定义1 M(x,y,z) 上页 下页 首页 例1 已知平面 过点 ，且垂直于 的连线，求平面 的方程. 解 取平面的法线向量为 由平面的点法式方程，得所求平面的方程为 2(x-2)+(y+1)-(z-3)=0, 即 2x+y-z=0. 6.3 平面与直线 上页 下页 首页 都在平面上， 例2 求过点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程. 解 由于A,B,C三点都在平面上，所以向量 因此向量 垂直于平面，故可取它作为平面的法向量. 因此，过点A(1,0,0)，且以n=i+j+k为法向量的平面方程为 即 x+y+z=1. 6.3 平面与直线 上页 下页 首页 6.3 平面与直线 (2) 平面的一般方程 平面的一般方程 由平面的点法式方程 上页 下页 首页 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 6.3 平面与直线 上页 下页 首页 例3 作出下列平面. (1) x=2; (2) z=3; (3) x+y=2; 解 (1) x=2表示过点(2,0,0)且平行于yOz面的平面. (2) z=3表示过点(0,0,3)且平行于xOy面的平面. 6.3 平面与直线 上页 下页 首页 (3) x+y=2表示过点(2,0,0),(0,2,0)且与z轴平行的平面. 表示过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面. 6.3 平面与直线 上页 下页 首页 例4 求过x轴和点M(2,-2,3)的平面方程. 解 因为平面过x轴，所以设平面的方程为 By+Cz=0. 将点M(2,-2,3)代入上式，得 -2B+3C=0. 解得 将 代入方程By+Cz=0中，得 因为 ，故所求平面方程为 或 3y+2z=0. 6.3 平面与直线 上页 下页 首页 例5 设平面过点