北航计算方法复习题.ppt

第五章 线性方程组的迭代法 迭代过程的收敛性 定理1 迭代法 收敛的充要条件是 定理2 若||M||1，则迭代格式 收敛。 定理3——误差估计式 若||M|| 1，则近似解x(k)满足 第五章 线性方程组的迭代法 雅可比迭代 设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=[aij]n×n非奇异，且主对角元素aii≠0，i=1，2，…，n。将A分解为 从而有： Dx=b-(L+U)x 或 x=-D-1(L+U)x +D-1b 对角占优 对角占优方程组的 Jacobi迭代收敛 M g 第五章 线性方程组的迭代法 高斯-塞德尔迭代 x(k)=-(D+L)-1Ux(k-1)+ (D+L)-1b x(k)=D-1(b-Lx(k)-Ux(k-1)) x=-D-1(L+U)x +D-1b M g M g x(k)=D-1(b-Lx(k-1)-Ux(k-1)) 第五章 线性方程组的迭代法 松弛法(Gauss-Seidel的加速方法) ω为松弛因子，0ω2。 取x(k) =D-1(b-Lx(k)-Ux(k-1))，则有: x(k) = ω(D-1(b-Lx(k)-Ux(k-1))) +(1-ω) x(k-1) 超松弛法 （SOR法） 1ω 2。  注意 准确性、精度、有效数字的概念贯穿于各个求解过程当中 考试中没有特别复杂的计算 要把解题思想写清楚 低阶的公式应该记住 第二章 数值积分 求积节点可选择的情况 高斯求积公式——提高精度 n=1： 中点公式 n=2： 具有3次代数精度。 对于任意区间[a,b]， 第二章 数值积分 求积节点可选择的情况 高斯求积公式——提高精度 高斯点的特点 节点xi(i=1，2，…，n)是高斯点的充要条件是：多项式 与一切次数≤n-1的多项式p(x)正交，即成立： 高次的高斯公式不便于应用，一般可借鉴复合求积方法 第二章 数值积分 求积节点可选择的情况 高斯求积公式——提高精度 高斯求积公式的余项 Gauss型求积公式总是稳定的。 设f在[a,b]上连续，则Gauss型求积公式是收敛的 高斯求积公式的稳定性 高斯求积公式的收敛性 第三章 常微分方程的差分方法 欧拉方法 改进的欧拉方法 龙格-库塔方法 亚当姆斯方法 收敛性与稳定性 方程组与高阶方程的情形 边值问题 重点： 构造某种格式 格式的收敛性和稳定性 格式的精度 第三章 常微分方程的差分方法 典型的微分方程(一阶方程的初值问题) 求解的核心——消除导数 离散化方法 差分方法是一类重要的数值解法 初值问题 的解表示过点 的一条曲线 初值问题 的数值解表示一组离散点列 第三章 常微分方程的差分方法 局部截断误差 整体截断误差 设 是准确的，用某种方法计算 时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差 称 为某方法在点 的整体截断误差 去掉 准确的前提 如果其局部截断误差为O(hp+1)，称该数值方法的精度是p阶的 定义精度 判断收敛性 第三章 常微分方程的差分方法 Euler方法——差商代替导数 隐式Euler方法——向后差商 两步Euler格式——中心差商公式 第三章 常微分方程的差分方法 微分方程转化为积分方程 选取不同的数值积分公式——不同的离散方法(差分格式) 矩形格式 梯形格式 第三章 常微分方程的差分方法 改进的欧拉方法：预报-校正系统 第三章 常微分方程的差分方法 龙格-库塔方法 高精度(构造！) 思想核心是如何确定 ——区间[xn, xn+1]上的平均斜率 第三章 常微分方程的差分方法 龙格-库塔方法 高精度(构造！) 思想核心是如何确定 ——区间[xn, xn+1]上的平均斜率 第三章 常微分方程的差分方法 龙格-库塔方法 二阶龙格-库塔：取xn和xn+p= xn+ph，0p≤1。合理的确定λ、p，以提高精度。 有： λp=1/2。——二阶Runge-Kutta格式（二阶精度） λ=1/2，p=1，改进的Euler公式；