平稳随机过程的自相关矩阵及其性质.ppt

主要内容 一、自相关矩阵的定义 二、自相关矩阵的基本性质 三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性质 故相关矩阵R总是非负定的。当且仅当观测向量的每个随机变量间存在线性关系时，等式成立，这种情况仅出现在随机过程u(n) 是由K个纯复正弦信号之和组成。 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性质 对平稳随机过程的自相关矩阵R进行特征值分解，设向量q1、q2、··· 、qM 分别是特征值λ1、λ2、···、λM??所对应的特征向量，即 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 性质1 特征值λ1、λ2、···、λM都是实数，且是非负的。 性质2 对任意整数k0，矩阵Rk的特征值为λk1、λk2、···、λkM。 性质3 若特征值λ1、λ2、···、λM各不相同，则特征向量q1、q2、··· 、qM相互正交。 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 性质4 若特征值λ1、λ2、···、λM各不相同，是相应的归一化特征向量，即 性质5 特征值之和等于相关矩阵的迹，即 Company Logo 平稳随机过程的自相关 矩阵及其性质 硕研2012-3 杨波 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 一、自相关矩阵的定义 对离散时间平稳随机过程，用M个时刻的随机变量u(n),u(n-1), … u(n-M+1)构造随机向量 u(n)= [u(n) u(n-1) … u(n-M+1)]T (1) 随机过程u(n)的自相关矩阵定义为 R= E{u(n) uH(n) } (2) 将式(1)代入(2)，并考虑平稳条件，得其展开形式 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 其中，r(m)是随机过程u(n)的自相关函数，为r(m)=E{u(n)u*(n-m) } 。 根据相关函数共轭对称性，即r(-m)=r* (m) ，上式又可重写为 因此，对于一个平稳随机过程，只需自相关函数r (m) 的M个值就可以完全确定相关矩阵R。 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 二、自相关矩阵的基本性质 性质1 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite 矩阵，即有 RH=R 性质2 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz矩阵。 结论：如果离散时间随机过程是广义平稳的，则它的自相光矩阵R一定是Toeplitz矩阵；反之，如果自相关矩阵R为Toeplitz矩阵，则该离散时间随机过程一定是广义平稳的。 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 性质3 平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的，且几乎总是正定的。 证明：设a∈Cm×1为任意非零向量，由于二次型 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 实际中，由于不可避免地存在加性噪声，故平稳离散时间随机过程的相关矩阵几乎总是正定的。 性质4 将观测向量u(n)元素倒排，定义向量 uB(n)= [u(n-M+1) u(n-M+2) … u(n)]T 这里，下标B表示对向量u(n)内各分量做反序排列，则向量uB(n)的相关矩阵可以表示为 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 性质5 平稳离散时间随机过程的自相关矩阵R从M维扩展为M+1维，有如下递推关系: 或等价地,有 其中 通过对自相关矩阵R进行特征值分解，可以得到随机过程u (n) 的某些统计信息，这便是离散时间随机过程的特征值分析方法，是统计信号处理的基础。 下面介绍自相关矩阵的特征值和特征向量的性质。 定义矩阵 则矩阵是酉矩阵，且相关矩阵可对角化为 性质6 Karhunen-Loeve展开 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质