应用数理统计多维随机变量及其函数的概率分布.ppt

多维随机变量 多维随机变量及其函数的概率分布 一、基本概念 1.二维随机变量 设随机试验的样本空间为?，X和Y是定义在?上的两个随机变量，称向量(X,Y)为二维随机变量 二元函数 F(x, y)=P{X? x, Y? y}, -?x, y+? 称为(X,Y)的分布函数或X和Y的联合分布 函数 二维随机变量 分量X的分布函数 FX(x)=F(x, +?) , -?x+? 称为(X,Y)关于X的边缘分布函数 分量Y的分布函数 FY(y)=F(+?, y) , -?y+? 称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数 二维随机变量 若二维随机变量(X,Y)只取有限对值或可数对值，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。设(X,Y)的可能取值为(xi,yi)，i ,j =1,2,…则 P{X=x,Y=y}=pij ，i ,j =1,2,… 称为(X,Y)的分布律或X与Y的联合分布律。 (X,Y)的分布函数为 二维随机变量 若存在二元非负可积函数f(x,y)，使得(X,Y)的分布函数 则称(X,Y)是二维连续型随机变量。 函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度函数， 或X与Y的联合概率密度函数 二维随机变量 (X,Y)是二维离散型随机变量，联合分布律为P{X=xi ,Y=yj }=pij ，i ,j =1,2,…，则 (X,Y)关于X的边缘分布律为 (X,Y)关于Y的边缘分布律为 二维随机变量 (X,Y)是二维连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)，则 (X,Y)关于X的边缘分布密度为 (X,Y)关于Y的边缘分布密度为 2.n维随机变量 n维随机变量(X1,X2,?,Xn)的分布函数 F(x1,x2,?,xn)=P{X1?x1, X2?x2,?,Xn?xn} 关于Xi的边缘分布函数 Fi(xi)= F(+?,?,+?, xi ,+?,?,+?) n维随机变量 n维连续型随机变量，密度函数为f(x1,x2,?,xn)，则 分布函数 关于Xi的边缘分布密度函数 二、基本性质 1.联合分布函数具有下述性质 0?F(x,y)?1 F(x,y)对x和y分别单调不减 F(x,y)对x和y分别是右连续的，即 基本性质 对任意的x, y 基本性质 随机点(X,Y)落在矩形域 D={(x, y)|x1x?x2 ,y1y?y2} 上的概率为 P{x1X?x2 ,y1Y?y2} =F(x2, y2)-F(x2, y1) -F(x1, y2)+F(x1, y1) 基本性质 2.联合分布律具有下述性质 0?pij?1 ? 基本性质 3.联合密度函数具有下述性质 f(x,y)?0 ? 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则 基本性质 (X,Y)落入平面区域D的概率为 三、随机变量的独立性 设X和Y是两个随机变量，对于任意的x和y，如果事件{X?x}与{X?x}相互独立，则称X与Y相互独立 X与Y的联合分布函数为F(x,y)，边缘分布函数分别为FX(x)， FY(y)，则 X与Y相互独立?F(x,y)= FX(x)FY(y) 随机变量的独立性 如果对于任意的x1,x2,?,xn ,事件{X1?x1}， ? ，{Xn?xn} 相互独立，则称X1,X2,?,Xn相互独立 X1,X2,?,Xn相互独立的充要条件是 F(x1,x2,?,xn)= F1(x1)F2(x2 ) ? Fn( xn) 随机变量的独立性 对于离散型随机变量 X与Y相互独立?pij= pi? p?j 对于连续型随机变量 X与Y相互独立? f(x,y)= fX(x)fY(y) X1,X2,?,Xn相互独立? f1(x1)f2(x2 ) ? fn( xn) 三、条件分布 1.离散型随机变量 设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 pij = P{X=xi,Y=yj} ，i ,j =1,2,…， 边缘分布律为 pi? = P{X=xi } ，i =1,2,…， p?j = P{Y=yj } ，i ,j =1,2,…， 则 条件分布 在{Y=yj}发生的条件下X的条件分布律为 在{X=xi}发生的条件下Y的条件分布律为 条件分布 在X与Y相互独立时 条件分布 2.连续型随机变量 设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，边缘概率密度为fX(x)， fY(y)，则 条件分布 在{Y=y}发生的条件下，X的条件密度为 在{Y=y}发生的条件下，X的条件分布为 条件分布 在{X=x}发生的条件下，Y的条件密度为