应用数理统计样本及抽样分布.ppt

样本及抽样分布 一、总体和样本 1.总体和个体 总体：研究对象的全体，用随机变量X表示。 个体：总体的每个单元。 2.样本与样本值 样本：在总体X中抽取n个个体X1, X2 , ? , Xn , n为样本容量， (X1, X2 , ? , Xn)构成n维随机变量。 样本值：样本的取值，即样本的观察值x1, x2 , ? , xn 总体和样本 简单随机样本 (1)每个个体Xi与总体X同分布； (2)个体之间相互独立。 总体X的分布函数为F(x),概率密度为f(x)， 样本的联合分布函数为F*(x1,x2,?,x), 样本的联合概率密度函数为f*(x1,x2,?,xn), 则 F*(x1,x2,?,x)= F(x1) F(x2)?F(xn) f*(x1,x2,?,xn)= f(x1) f(x2)?f(xn) 总体和样本 3.经验分布函数 将n个样本值按大小排成顺序 x(1)?x(2) ? ? ? x(n) 记Fn(x)为不大于x的样本值出现的频率,则 称Fn(x)为经验分布函数。 总体和样本 格列汶科定理 设总体分布函数为F(x) ，经验分布函数为 Fn(x) ，则 即n ? +?时， Fn(x)?F(x) 总体和样本 4.样本的数字特征和样本矩 样本均值 样本方差 样本标准差 总体和样本 样本矩 样本的k阶原点矩 样本的k阶中心矩 以上都是随机变量（Xi的函数） 总体和样本 定理：样本均值 总体均值E(X) 样本方差 总体方差E(X) 样本矩 总体矩 5.统计量 设X1,X2,?,Xn是总体X的样本， g(X1,X2,?,Xn )是连续函数， 若此函数不含任何未知参数，则称函数g(X1,X2,?,Xn )为一个统计量。 二、抽样分布 抽样分布：统计量的分布。 分位点：设统计量U服从某分布，如果对于?(0?1)有P{UU?}=?,则称U?为该分布的上?分位点。 抽样分布 1.标准正态分布 X ~ N(0,1)，记它的分位点为Z? P{XZ?}=? P{X?Z?}=1-? ?{Z?}=1-? 抽样分布 2.?2 (卡方)分布 定义：设总体X ~ N(0,1)，X1,X2,?,Xn是X的简单随机样本，统计量?2为 则称?2服从自由度是n的?2分布。 抽样分布 概率密度为 当n=1时，?2(n)为?分布, 当n=2时，?2(n)为指数分布。 抽样分布 ?2分布的可加性 若?12~ ?2(n1)， ?22~ ?2(n2)且相互独立，则 ?12 + ?22 ~ ?2(n1 + n2) ?2(n)的期望与方差 E(?2(n))= n， D(?2(n))= 2n ?2(n)分布表 对给定的?(0?1)，若有一点??2(n)满足 P{?2 ??2(n)}=?,则称此点为?2(n)分布的上?分位点。 抽样分布 3.t分布 定义：设X ~ N(0,1)，Y~ ?2(n)，且X,Y相 互独立， 服从自由度是n的t分布 概率密度为 抽样分布 t(n)分布表 对给定的?(0?1)，若有一点t?2(n)满足 P{T t?(n)}=?,则称此点为t(n)分布的上?分位点。 t1-?(n) =-t?(n) 当n充分大时(n45) , t?(n) ?Z?(n) 抽样分布 4.F分布 定义：设U ~ ?2(n1)，V~ ?2(n2)且U, V相 互独立， 服从自由度是(n1 , n2) 的F分布。 概率密度为 抽样分布 F分布表 对给定的?(0?1)，若有一点F?(n1,n2)满足 P{F F?(n1,n2)}=?,则称F?(n1,n2)为F(n1,n2)分布的上?分位点。 若X~ F(n1,n2)分布,则1/X ~ F(n2,n1) F1-?(n1,n2)=1/ F?(n2,n1) 抽样分布 5.几个重要统计量的分布 设X~N(? , ?2)，X1,X2,?,Xn是简单随机样本,显然，Xi ~ N(? , ?2),样本均值X的分布为 (1) (2) 抽样分布 (3) (4) (5) 抽样分布 (6) X~N(?1,?2),Y~N(?2,?2), X,Y相互独立，X的样本为X1,X2,?,Xn1，是Y的样本为 Y1,Y2,?,Yn2， 则 抽样分布 (7) 抽样分布 (1) * * * * *