应用数理统计随机变量的数字特征.ppt

随机变量的数字特征 一、1.数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk , k=1,2,? 数学期望 设连续型随机变量X的概率密度为f(x) 数学期望 2.随机变量函数的数学期望 对随机变量X的函数Y=g(X) 离散型随机变量X分布律P{X=xk}=pk 连续型随机变量X的概率密度f(x) 3.数学期望的性质 若C为常数，则E(C) =C 若C为常数，E(X) 存在，则 E(CX)=C E(X) 若a,b为常数，E(X) 存在，则 E(aX+b)=a E(X) +b 若E(Xi) 存在(i=1,2,?,n)，则 二、1.方差 方差D(X)=E[(X-E(X))2] 对离散型随机变量 对连续型随机变量 计算公式 D(X)=E(X2)-(E(X))2 2.方差的性质 若C为常数，则D(C) =0 若C为常数，D(X) 存在，则 D(CX)=C2 D(X) 若a,b为常数，D(X) 存在，则 D(aX+b)=a2 E(X) 随机变量X的标准化 三、常见分布的期望与方差 四、协方差与相关系数 1.协方差 定义式 Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 计算公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 性质 Cov(X,X)=D(X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y) 协方差 协方差矩阵 (X1, X2,?, Xn)是n维随机变量 ?ij=E[(Xi-EXi)(Xj-EXj)], i,j=1,2,?,n 2.相关系数 相关系数 相关系数矩阵 五、随机变量的矩 X的r阶中心矩 E[(X-EX)r] X的r阶原点矩 E(Xr ) X,Y的r+l阶中心混合矩 E[(X-EX)r (Y-EY)l] X,Y的r+l阶原点混合矩 E(XrYl) 六、极限定理 1.大数定理 切比雪夫不等式 随机变量X，EX=?，DX=?2 大数定理 切比雪夫大数定理 X1 ,X2,?,Xn,?独立同分布序列，E(Xi)=?，则 大数定理 贝努利大数定理 设?n是n次独立重复试验中事件A出现的频数，在每次试验中都有P(A)=p，则有 2.中心极限定理 X1 ,X2,?,Xn,?独立同分布序列，E(Xi)=?， D(Xi)=?2，则 中心极限定理 设?n是n重贝努利试验中事件A出现的频数，P(A)=p， ?n ~B(n,p),E(?n)= np，D(?n)= npq * * E(?) U(a,b) ?2 ? N(?,?2) 超几何分布 ? ? P(?) np(1-p) np B(n,p) 方差 期望 分布 * * *