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微 分 几 何 第二章 曲面：局部理论 第一节 参数曲面和第一基本形式 第二节 Gauss映射和第二基本形式 第三节 G-C方程和曲面基本定理 第四节 协变微分，平行移动和测地线 第二章 曲面：局部理论 第四节 协变微分，平行移动和测地线 曲面的内蕴几何概念之一：“平行移动”。 如何比较曲面上任意两点的切向量?怎么判断它们是否平行？ 第二章 曲面：局部理论 定义：给定正则参数曲面 ，向量函数 称为 上一个（切）向量场，如果它满足 （1） （2）对于曲面任意的正则参数表示 函数 都是连续可微的。 第二章 曲面：局部理论 于是我们可以考虑对曲面上的切向量场 求关 于切向量 的方向导数： 选取曲面上的一条参数曲线 满足 则 注意:曲面上“居民”只看得到上述向量在曲面切平面的投影！ 第二章 曲面：局部理论 定义 曲面 上的可微切向量场 关于切向 量 的协变导数为 给定 上曲线 ，如果 则称向量场 沿参数曲线 平行。 第二章 曲面：局部理论 例1 单位球面 上任意一个大圆 的切向量 场 是单位切向量场， 恰好是指向球心，所以 球面上大圆的切向量场沿着大圆平行。 另外常向量场 沿着球面的赤道平行。 第二章 曲面：局部理论 例2 曲面 上参数曲线上对应的切向量场的协 变导数恰好可以由Christoffel记号表示。 在给定局部参数表示 下 第二章 曲面：局部理论 命题 设 是曲面 上一条参数曲 线，且 ，切向量 。则沿着 存在唯一的平行向量场 使得 。 证明：不妨设曲线 包含在某个参数表示 中，有 。进一步假设 第二章 曲面：局部理论 由于 ，我们计算 第二章 曲面：局部理论 是沿着 的平行向量场当且仅当 是下列方程组的解： 由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了 ，使得 ， 我们就得到唯一的平行向量场 满足 。 第二章 曲面：局部理论 定义 设 是曲面 上一条参数曲 线，且起始点为 。 是沿 的平行向量场，则向量 称为 沿 到点 的平行移动。 之前的命题的存在唯一性结论保证了平行移动定义的合理性。 如果曲线 是正则的，则平行移动不依赖于 的参数表示。 第二章 曲面：局部理论 例3 单位球面 上纬线圆 ，考虑向量 从点 出发沿着纬线逆时针的平行移动。 第二章 曲面：局部理论 解：将单位球面Christoffel记号的计算结果带入 方程(eq-1)中得到 加上初始值条件 ，解得 观察到 。平行移动保持切向量的长度不变？ 第二章 曲面：局部理论 命题 假设 和 是沿 的两个平 行向量场，则内积 为常数。 推论 平行移动保持向量的长度和夹角。 证明：向量场 沿 平行，则 与 平行，则 同理 第二章 曲面：局部理论 平面中“直线”在曲面的推广－－“测地线”。 曲面上两点之间的最短连线是什么？ 定义 曲面 上一条非常值参数曲线 称为测地线（geodesic），如果切向量场 沿 平行，即 测地线满足 ，参数曲线正则，可以引进弧长参数 。 第二章 曲面：局部理论 曲面上以弧长为参数的测地线 的曲率向量 在曲面的切平面上投影为零，即测地线在每点的 主法向量与曲面的法向量平行。 这里曲线的曲率向量在曲面法向量上的投影