图论课件--极图理论简介.ppt

* * 图论及其应用 应用数学学院 第一章 图的基本概念 本次课主要内容 极图理论简介 (一)、l 部图的概念与特征 (二)、托兰定理 (三)、托兰定理的应用 1978年，数学家Bollobas写了一本书《极值图论》(Extremal Graph）,是关于极值图论问题的经典著作。 P. Erd?s是该研究领域的杰出人物。他是数学界的传奇人物，国际图论大师，获过Wolf数学奖。他是20世纪最伟大的数学家之一，也是人类历史上发表数学论文最多的数学家(1000多篇),第二名是欧拉(837篇)。他于1996年9月20日因心脏病去世，享年83岁，他的逝世当时惊动了整个数学界。 极图属于极值图论讨论的范畴，主要研究满足某个条件下的最大图或最小图问题。 上世纪70年代末，极值图论已经形成了相对完整的理论体系，但还有很多引人入胜的公开性问题没有解决，所以，直到现在，它仍然是重要研究方向。但是，该方向是比较困难的数学研究方向之一。 本次课，主要介绍极值图论中的一个经典结论：托兰定理。 (一)、l 部图的概念与特征 定义1 若简单图G的点集V有一个划分： 且所有的Vi非空，Vi内的点均不邻接，称G是一个l 部图。 4部图 定义2 如果在一个l 部图G中，任意部Vi中的每个顶点，和G中其它各部中的每个顶点均邻接，称G为完全l 部图。记作： 例如： K1, 2, 2 显然： 定义3 如果在一个n个点的完全 l 部图G中有： 则称G为n阶完全 l 几乎等部图，记为T l, n |V1| = |V2| = … = |Vl | 的完全 l 几乎等部图称为完 全 l 等部图。 定理1： 连通偶图的2部划分是唯一的。 证明 设连通偶图G的2部划分为V1∪V2 =V 。 取v∈V1 ，由于G 连通，对任何u∈V1∪V2 ， G中有 联结u 和v的路，故d (v, u)有定义。 因为任何一条以v为起点的路交替地经过V1和V2 的点， 可知一个点u∈V2 当且仅当d (v, u)是奇数。这准则唯一地 决定了G的2部划分。 定理2： n阶完全偶图 Kn1,n2的边数m=n1n2,且有： 证明：m=n1n2显然。下面证明第二结论： 证明：首先有： 定理3 n阶l部图G有最多边数的充要条件是G ≌ Tl,n。 其次，考虑： 则 f 取最大值的充分必要条件为：1≦ij ≦l,有: 而G的对应的顶点划分形成的 l 部图正好为T l, n 从而证明了该定理。 (二)、托兰定理 定义4 设G和H是两个n阶图，称G度弱于H，如果存在双射μ：V(G)→V(H),使得： 注意：若G度弱于H，一定有： 但逆不成立！例如：(1,1,4,2)与(3,3,3,3)没有度弱关系！ 定理4 若n阶简单图G不包含Kl+1，则G度弱于某个完全 l 部图 H，且若G具有与 H 相同的度序列，则: 证明：对 l 作数学归纳证明。 当 l =1时，结论显然成立； 设对 l t 时，结论成立。考虑 l = t 时的情况。 令u ∈V(G), 且d (u) = Δ(G). 设G1= G[N(u)],则G1不含Kt, 否则，G含Kt+1,矛盾！ 由归纳假设，G1度弱于某个完全t-1部图H1. 又令V1=N (u) , V2=V-V1 , 用G2表示顶点集合为V2的空图，则G度弱于G2VG1，当然度弱于G2V H1。 令H= G2V H1,则H是完全t部图。 下面证明定理的第二个结论。 若G与H有相同的度序列，而H= G2V H1,所以，G与 G1VG2有相同的度序列。 由此可以推出： G= G1V G2 因为 G= G1V G2和H= G2V H1有相同度序列，于是得到G1和H1有相同度序列，所以： 定理5（Turán）若G是简单图，并且不包含 Kl+1,则： 仅当 时，有 证明：由定理4知：G度弱于某个完全 l 部图H。于是： 又由定理3知： 所以得： 下面证明定理5的后一论断。