恒等式思想应用.doc

应用恒等式求待定常数 事物因“相等”，相对静止，表现为具体、简单，可以认识；因“不等”，运动变化，显得抽象、复杂，难以触摸。“相等”与“不等”是相互对立的一组关系，是同一事物矛盾对立的两个方面，我们通过“相等”而认识“不等”，“相等”既是数学思考的起点，又是数学思考的终点。恒等式是一个古老而原始的概念，许多科学发现的定理、定律，通过恒等式的形式表现出来，恒等式秉持“相等”而成为永恒的话题。今天我重点谈谈恒等式在解析几何中求定点坐标、定直线方程中的应用。 一、求曲线系过定点 (是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，要有恒等式的思想. [解法一]：（比较系数法）直线方程化为:, ∵∈R, ∴，解得，，， ∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）. [解法二]:（特殊值法）取=0，=1得，，，联立解得，，， 将（1,1）代入检验满足方程， ∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）. 点评：对证明直线系过定点问题，要将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式各个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标这就是“比较系数法”；另外，也可以代入两个特殊参数值，得到两条特殊直线方程，解方程组得到两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点. 这就是“特殊值法”。这两种方法是处理恒等式有关问题的常用方法。 以上是用恒等式求直线系过定点，下面是高三考前热身（C）理科数学20题，第三小题是求圆系定点问题. 如图：已知椭圆的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上，且异于点A、B，直线AP、PB与直线分别交于点M、N. (1)设直线AP、PB的斜率分别为，求证：为定值； (2)求线段MN的最小值； (3)当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论。 解：(1)由椭圆，可知 A(0,1)、B(0,-1)，设 ， 则 直线AP的斜率； 直线PB的斜率 由P在椭圆C上，所以，从而 (2)由题设得，直线AP的方程为；直线PB的方程为 令，分别得到 ∴，∵ ∴ （当且仅当，即时取等号） 故线段MN的最小值是. (3)∵，即 ∴以MN为直径的圆系方程为 即…………………… (*) 令 解得 所以，以MN为直径的圆必经过定点 点评：对(*)式，把“”看做一个整体参数，则圆系方程 表示过圆：与直线两交点的圆系方程。把(*)式化为： 就是直接关于参数k1的恒等式。由k1的任意性，可得 同样求得， 以MN为直径的圆系必经过定点 二、恒等式求定点坐标 例2.（揭阳市2011-2012学年度第二学期高一学业水平考试压轴题，也是江苏2009高考题） 在平面之间坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4，C2：（x-4）2+（y-5）2=4. （1）若直线l过点A（4,0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线L1和L2，们分别于圆C1和圆C2相交，且直线L1被圆C1截得的弦长与直线L2被圆C2截得的弦长相等，试求所以满足条件的点P的坐标解：依题意：圆C的半径r=2∵弦长为半弦长为由得：圆心C到弦的距离d=1 ∵直线l过点（4,0）设直线方程为kxy-4k=0 ，则圆心到直线的距离∴k=0或k=将k值代入直线方程kxy-4k=0得：y=0或7x+24y-28=0∴直线方程为y=0或7x+24y-28=0设满足条件的点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：， 即 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等由垂径定理，得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等，即 化简，得：(m+3)k+n-1= (n-5)k+m-4或(m)k-n+1= (n-5)k+m-4由k的，m+3)=n-5，m-4=n-1，或mn-5， -n+1 =m-4 解得：点P坐标为或”以后，就陷入迷茫，找不到解题的思路，其实这个式子“”不是方程，而是要把它视为恒等式。形的“无穷多”是没办法解的；只有把它视为恒等式，在“恒等式”的正确思想指导下，才能“柳暗花明又一村”，拨开迷雾，走出死胡同，走向康庄大道，化为关于参数k的恒等式，从而求解。 例3.（2013揭阳四模19题） 如图（6），设点,△ABC内切圆的圆心在直线x=1上移动。 （1）求点C的轨迹E的方程； （2）如果点P是轨迹E上的动点，试探究在x轴的负半轴 上是否存在定点M，使得?若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由。 解：（1）设△ABC内切圆切AB于点D,依题意得且 -----------------3分 所以点C的