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充液系统动力学——第1 章 刚体动力学基础 1-1 1 刚体动力学基础 1.1 矢量、并矢与张量 1.1.1 矢量 矢量是有方向性物理量的数学抽象。矢量除有确定的数值和方向以外，还必须满足矢量 代数所规定的运算规则。有时还必须规定矢量的作用线和作用点，例如，作用于刚体上的力 矢量就是一个规定了作用线的矢量，称为滑移矢量；在一般情况下力矢量必须规定其作用点。 不需明确规定作用线或作用点的矢量称为自由矢量，例如作用于刚体上的力偶矢量就是一个 自由矢量。 三个汇交于O 点的正交单位矢量e 、e 、e 称为基矢量，它们组成的右手正交参考系称 1 2 3 为一个正交基e ，正交基的基矢量之间满足下列正交性条件： e ⋅e δ i, j 1,2,3 (1.1.1) i j ij ( ) ei ×e j eij k ek (i,j ,k 1,2,3) (1.1.2) 其中δ 为Kronecker 符号，e 是置换符号，分别定义为 ij ijk 1 i j δij 0 i ≠j (1.1.3)   1 (i, j,k按1,2,3顺序循环置换)  eijk =−1 (i, j,k按3,2,1顺序循环置换) (1.1.4)  0 (i, j,k 中有重复标号)  在给出 Kronecker 符号与置换符号之间的关系之前，先引入所谓的“总和协定” （summation convention ）：即当某项中存在一重复的指标 （称为Einstein 哑标）时，则意味 着该项需对哑标在其定义域内求和，例如，对三维空间中的平面，描述方程为 a x +a x +a x p (1.1.5) 1 1 2 2 3 3 该方程可改写为 3 ∑a x p (1.1.6) i i i 1 引入“总和协定”，则平面方程可改写为如下简单形式： a x p (1.1.7) i i “总和协定”的引入是为了简化公式的书写。 Kronecker 符号与置换符号之间有如下恒等关系： 充液系统动力学——第1 章 刚体动力学基础 1-2 e e δ δ −δ δ (1.1.8) ijk ist js kt j t ks 公式(1.1.8)称为e-δ恒等式。 任意矢量a 可以表示为基矢量e