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第3章 图像变换 数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像编码等处理中。 3.3 Hough 变换 3.5.5 Hough 变换的扩展应用 3.4 小波变换 * 自动化工程学院电子工程系教研室 王汉萍 主讲 3.1 傅立叶变换 3.2 离散余弦变换 3.3 Hough变换 3.4 小波变换 3.1 可分离和正交图像变换 将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转换方法就被称为图像变换技术。 变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或逆变换。 图像变换的定义 一、可分离变换 1-D可分离变换 T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反变换可以表示为： k(x,u)称为反向变换核。 2-D可分离变换 和 分别称为正向变换核和反向变换核。 如果，下式成立： 则称正向变换核是可分离的。如果h1 和h2的函数形式一样，则称正向变换核是对称的。 3. 2-D可分离变换的计算 首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到： 然后，沿f(x,y)的每一行进行1-D变换得到： f(x,y) (0,0) Y X (N-1) T(u,v) (0,0) V U (N-1) T(x,v) (0,0) V X (N-1) 列变换 行变换 二、正交变换 当h(x,y,u,v)是可分离和对称的函数时，公式 可写为矩阵形式 其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素为 ，T是输出的N*N变换结果。为了得到反变换，对上式 两边各乘一个反变换矩阵B: 如果B=A-1,则： 如果B不等于A-1,则得到F的一个近似： 利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余和操作次数。 在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩阵，相应的变换为正交变换。 对连续傅立叶变换的复习 若f(x)满足狄利赫莱条件，则存在f(x)的傅立叶变换： 具有有限个间断点 具有有限个极值点 绝对可积 狄利赫莱条件 一维连续傅立叶变换 令ω=2πu，则有 二维连续傅立叶变换 如果f(x,y)满足狄利赫莱条件，那么存在下面二维傅立叶变换对： 连续傅立叶变换的性质 可分性 2. 线性 3. 共轭对称性 4. 旋转性 5. 比例变换特性 6. 帕斯维尔定理（能量保持定理） 7. 相关定理 8. 卷积定理 1. 可分性 该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶变换实现 2. 线性 3. 共轭对称性 4. 旋转性 5. 比例变换特性 6. 帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理） 说明变换前后不损失能量。 7. 相关定理 3.1 傅里叶变换 傅里叶变换是可分离和正交变换中的一个特例，对图像的傅里叶变换将图像从图像空间变换到频率空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。 对于数字图像而言，DFT的重要意义在于，在数学上建立了阵列与阵列的一一对应关系，而且这个变换具有一系列重要性质，这些数学性质在物理实现上又有重要的应用价值，并且有快速算法，这些算法固化在器件上，也可以通过光学器件实现。傅立叶变换在图像的高、低通滤波、噪声滤波、选择性滤波、压缩和增强中有着广泛的应用。 一个2-D离散函数的平均值可用下式表示： 3.1.1 2-D 离散傅里叶变换（DFT） 比较以上两式： 2-D离散函数傅里叶变换的频谱（幅度函数）、相位角、和功率谱（频谱的平方）定义如下： 正反傅里叶变换都是可分离和对称的： 3.1.2 傅里叶变换定理 设f(x,y)和F(u,v)构成一对变换，即 则有以下一些定理成立： 1.平移定理 由上式可知，f(x,y)在空间平移相当于把其变换在频域与一个指数项相乘；将f(x,y)在空间与一个指数项相乘相当于把其变换在频域平移。并且对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。 2. 旋转定理