多元函数极值与一元函数极值的比较.ppt

实验11 多元函数极值与一元函数极值的比较 内容提要 本实验通过几个具体的例子，说明多元函数极值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，并通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它们的理解。 实验步骤 1. 方向导数 我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，则它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其偏导数存在而不连续，则它在某些方向上的方向导数就可能不存在，请看下面的例子。 多元函数极值与一元函数极值的比较 例 1 （1）证明：函数在原点处连续，而且在原点处的偏导数fx和fy 都存在（即沿x轴和y轴方向导数都存在），但原点处其他方向的方向导数都不存在；（2）利用计算机作出该函数在原点附近的图形，并从图上验证（1）的结论。 多元函数极值与一元函数极值的比较 解：由于 是初等函数，其定义域为R2，故函数在原点处连续， 而由于 而 多元函数极值与一元函数极值的比较 下面我们作出函数的图形，由于Mathematica中 在x0时无定义，故我们首先把函数变形为 在作图，即键入： 多元函数极值与一元函数极值的比较 运行后即得图13，从图上看到了除x轴和y轴着两个方向以外，其它方向的铅直平面与曲面的交线在原点处均形成一个尖点，故方向导数不存在。 多元函数极值与一元函数极值的比较 极值 例 2 对一元可导函数而言，如果有有限个驻点，则在两个极大值之间必存在极小值点；但一般说来这个结论对于二元连续函数不成立。考虑可导函数 证明它仅有两个极大值点。然后用计算机画出这个函数的图形，并从图上观察为什么会出现这个情况。 解： 首先我们定义函数，即键入： 多元函数极值与一元函数极值的比较 并运行，再求出驻点，即键入： 运行后即得驻点为，而在这两点上函数值为f（-1，0）=f（1，2）=0 显然这两点是最大值点，从而这两点必是极大值点。由于函数已没有其他的驻点，因而它也不可能有极小值点。 下面，我们作出函数的图形，即键入： 多元函数极值与一元函数极值的比较 运行后即得图14（a）。为了使输出的图形更直观，我们改变观察点，即键入： 运行后得图14（b） 多元函数极值与一元函数极值的比较 通过这两个最高点作垂直于xoy面的截面，截立体所截的截线上存在最低点，但这最低点却不是整个图形的（局部）最低点。 3 极值与最大（小）值 例 3 对一元连续函数而言，如果有唯一驻点，且该点是极大（小）值点，则此极大小值点必是函数的最大（小）值点；但一般而言，这个结论二元连续函数不成立。现对函数证明它有唯一驻点；且此驻点为极大值点，但此函数无最大值。然后用计算机画出这个函数的图形，并从图上观察为什么会出现这个情况。 多元函数极值与一元函数极值的比较 解 首先我们定义函数，即键入： 运行，然后我们求出该函数的驻点，因此我们键入： 运行后即得到唯一的驻点（1，0）（注意，由于该函数不是多项式函数，故在解方程组时有报错信息，一般此时应该用命令“FindRoot”。 多元函数极值与一元函数极值的比较 请读者做一下，作时请先分别定义两个偏导函数，例如定义: 关于x的偏导函数可用“ ”），根据极值的充分条件，我们在驻点（1，0）处计算 则该驻点为极值点，而此时 即键入： 多元函数极值与一元函数极值的比较 运行可得 故该驻点为极大值点，其中“/.”表示代入，上述程序即表示把x=1.y=0，代入计算相应的值。 接下来，我们再来观察它的图形，即键入： 多元函数极值与一元函数极值的比较 运行后得图15（a） 多元函数极值与一元函数极值的比较 通过计算可知其极大值为2，为此我们把因变量限制在[-10，5]并改变观察概图形的视角，再作出该函数的图形，即键入： 多元函数极值与一元函数极值的比较 其中“ClipFill-None”表示去掉因变量范围（PlotRange-{-10,5}）后其范围以外部分图形，最后我们再改变视角作出图形，即键入： 运行后即得图15（c） 多元函数极值与一元函数极值的比较 从图上可以看出，尽管该函数在（1，0）处有极大值却是不存在的（事实上 ）。这种情况的发生与例2是类似的，可见，由于多元函数自变量变化的复杂性，使多元函数的极值与一元函数的极值出现了不同的现象。 * *