多项式§1.2一元多项式的定义和运算.ppt

* 第一章 多项式 * * * §1.2 一元多项式的定义和运算 一、多项式的概念 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。 例： 4a+3b， 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。 后来又把多项式定义为R上的函数： 但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代。 问题： 1、高等代数中采用什么观点定义多项式？ 2、多项式的形式观点与多项式的函数观点 是否矛盾？ 定义1： 设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数 形式表达式 —（2.1） 其中 ，称为数域F上的一元多项式。 常数项或 零次项 首项 首项系数 称为i次项系数。 高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义： 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 系数可以是任意数域。 例1.2.1： 是Q上多项式； 是R上多项式； 是C上多项式。 都不是多项式。 定义2： 是两个多项式， 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 方程 是一个条件等式而不是 两个多项式相等。 定义3： 设 非负整数n称为 的次数，记为： 最高次项，亦称为首项。 例1.2.2： 零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。 零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不 个多项式不是零多项式。 首一多项式：首项系数为1的多项式。 二、多项式的运算 定义4： 设 是数域F上次数分别 定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这 为n和m的两个多项式 ， 则 与 的和 为： 。当mn时，取 。 定义5：设 如上， 与 的积为 例1.2.3：设 其中 相乘积的和作为 的系数。得： 把 中两个系数下标之和为k的对应项 多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法对加法的分配律： 下面证明多项式乘法满足结合律。 证：设 现证 这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。 左边 中S次项的系数是： 左边 t次项的系数是： 右边 中r次项的系数是： * 第一章 多项式 *