投资学高级教程04-有效投资组合.ppt

4 有效投资组合 N种风险投资组合 有效集与有效边界 不允许卖空的有效集与有效边界 市场证券组合 4.1 N种风险投资组合 投资组合模型 ( I ) 其中，R =[R1,R2,…,Rn]T 为n种证券组合期望值向量 （Ri为证券收益率ri 随机变量的期望值）， W＝[w1,w2,…,wn]T为n种证券投资额占总投资的比例 系数向量， E=[?ij] (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n)为证券I, J的收益率的 协方差矩阵（E为对称正定阵），为n种证券组 合期望收益率， F＝[1,1,…,1]T 为n维向量。 由投资组合模型（I）确定的投资组合的集合称为可行集，可行集在期望收益率与风险（标准差）? 空间的映射称为可行集映射域。例如，3种证券投资组合可行集及其映射域如图4.1所示。 投资组合模型的性质 性质1：n种证券组合所组成的集合为凸集。 证明：设?为n 种证券组合组成的集合，对任意的X??，Y??，则X与Y的组合Z为 Z = ?X＋(1??)Y (0 ? ? ? 1) （4.1） 因为 ZTF = = = 1 所以 Z?? 。故?为凸集。证毕。 ? 附：凹函数（定义）： 对任意X、Y∈?（凸集），若恒有： f(w1X+w2Y) ≤ w1f(X)+w2f(Y) 则称 f(X) 为凹函数。(当“”时，为严格凹函数) 性质2：n种证券组合的风险函数为凹函数。 证明：设 ? 为n种证券组合组成的集合，证券组合风险函数为 ? = (WTEW)1/2 。 由性质1知，?为凸集。任取两点X、Y??，对于X与Y的凸组合Z，有 Z = ?X＋(1??)Y ?? (0???1) ?z2 = ZTEZ =?2XTEX+(1??)2YTEY +?(1??)XTEY+?(1??)YTEX =?2?x2+(1??)2?y2+2?(1??)?xy 又 [??x+(1??)?y]2=?2?x2+(1??)2?y2+2?(1??)?x?y 因为 ?xy＝?xy?x?y ? ?x?y (?xy为相关系数，-1??xy?1) 所以 ?z2? [??x+(1??)?y]2 故 ?z? ??x+(1??)?y ? 由X、Y的任意性, 即证明了?=(WTEW)1/2为凹函数。 定义4.1：一组已知的n种证券组合的“重新包装”可以用n ×n 阶的非奇异矩阵A表示，其中 F＝AF （4.2） 重新包装的证券组合收益率、期望收益率分别为： r*＝Ar （4.3） R*＝AR （4.4） 定义4.1说明，证券组合重新包装实际是一种线性变换， 变换后的证券组合与原证券组合不同。 性质3: 在 -?空间具映射关系的n种证券组合, 经重新包装且满足原映射关系的证券组合仍在原可行集中。 证明：设在 -?空间具有某映射关系的n种证券组合W由模型（I）确定，A为重新包装矩阵，经过重新包装的证券组合为W *。则重新包装后的证券组合协方差矩阵为： E*=cov(r*,r*)=cov(Ar,Ar)=Acov(r,r)AT=AEAT (4.5) 令 =WTR=W*TR*=W*TAR 有 W*=(A-1)TW