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第5章 整数规划(IP) 整数规划的模型 分枝定界法 割平面法 0－1整数规划 指派问题 5.1 整数规划的模型 5.2 分枝定界解法 2、例题 例2、用分枝定界法求解整数规划问题（单纯形法） 5.3 割平面解法 5.4 0－1 型整数规划 bintprog函数——0-1整数规划 f = [-9; -5; -6; -4]; A = [6 3 5 2; 0 0 1 1; -1 0 1 0; 0 -1 0 1]; b = [9; 1; 0; 0]; [x, z] = bintprog(f,A,b) 5.5 指派问题 例1： 指派问题的计算机解法 整数规划问题的求解可以使用Lingo等专用软件。对于一般的整数规划问题，无法直接利用Matlab的函数，必须利用Matlab编程实现分枝定界解法和割平面解法。但对于指派问题等特殊的整数规划问题或约束矩阵是幺模矩阵时，有时可以直接利用Matlab的函数linprog。 例: 求解下列指派问题，已知指派矩阵为 解：编写Matlab程序如下： c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5; 8 4 2 3 5;9 10 6 9 10]; c=c(:); %把矩阵c转化为向量 a=zeros(10,25); for i=1:5 %实现循环运算 a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1; a(5+i,i:5:25)=1; end %此循环把指派问题转化为线性规划问题 b=ones(10,1); [x,y]=linprog(c,[],[],a,b,zeros(25,1),ones(25,1)); X=reshape(x,5,5) opt=y 求得最优指派方案为 ，最优值为21。 练习：用分枝定界法求解整数规划问题 （图解法） 练习1：用分枝定界法求解整数规划问题 （单纯形法） 练习3：求解指派问题 -2 -4 -9 -7 第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。 -4 -2 ◎ ? ◎ ? ? ◎ ◎ 第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为： (1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作? ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作? ． (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。 ◎ ? ◎ ? ? ◎ ◎ （4）若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。 （5）若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。 ◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优值: 4+4+9+11. 例2、 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？ 任务 人员 A B C D 甲 6 7 11 2 乙 4 5 9 8 丙 3 1 10 4 丁 5 9 8 2 求解过程如下： 第一步，变换系数矩阵： －5 第二步，试指派： ◎ ◎ ◎ ? ? 找到 3 个独立零元素 但 m = 3 n = 4 ◎ ◎ ◎ ? ? √ √ √ 独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3n=4； 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含?元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号； (4)重复(2),(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对