方程及其运动微分方程的两种投影形式,掌握分析求解质点.ppt

* 教学要求 1、了解动力学的研究对象及内容，理解质点动力学基本方程及其运动微分方程的两种投影形式，掌握分析求解质点动力学两类问题的一般方法与步骤。 2、理解刚体的转动惯量概念，掌握转动惯量的计算方法。 3、理解刚体作平动的动力学方程、绕定轴转动的动力学方程，掌握分析求解刚体动力学两类问题的一般方法与步骤。 第九章 动力学基础 动力学研究内容：物体的运动状态的变化与物体所受力之间的关系 动力学研究对象：质点和质点系。 质点：是指具有一定质量而其尺寸大小和几何形状可以忽略不计的物体。 质点系：是指许多相互联系着的质点所组成的系统。刚体是质点系的一种特殊情况，是任意两质点间距离保持不变的质点系。 动力学问题分类 ①动力学第一类问题：已知物体的运动规律，求作用于物体上的力。 ②动力学第二类问题：已知作用于物体上的力，求物体的运动规律。 第一节 质点动力学基础简介 一、质点动力学基本方程 牛顿第二定律：质点受力作用时将产生加速度，加速度的大小与力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。 其矢量方程形式为： F=ma 式中：F：质点所受的合力；m：质点的质量： a：质点的（绝对）加速度。（该定理只是对静系而言） 式F=ma即为质点动力学基本方程。 注意： ①当作用于质点的若干个力构成平衡力系时，其合力∑F=0；在此情况下， 质点不产生加速度，即a=0，质点处于静止或匀速直线运动状态；亦即物体处于惯性状态。 物体保持其运动状态不变的特性，称为惯性；惯性是一切物体都具有的属性。 ②力是改变质点（或物体）运动状态的原因。 ③惯性是物体的重要力学性质；质量是质点惯性大小的度量。 ④力和质点加速度关系是瞬时性关系。 ⑤力和质点加速度关系是矢量关系。 二、质量与重力的关系 重力和质量的关系式为： W=mg 重量是地球对物体吸引力大小的度量。它随离地球质心的距离不同而改变；在一般计算中可取g=9.8m/s2。质量是物体的固有属性，是物体惯性的度量，它不随物体的位置变化而改变。 力学单位制 常用单位制有国际单位制和工程单位制两种。 国际单位制：是以长度单位米（m）、时间单位秒（m）、质量单位千克（kg）为基本单位，而力的单位牛顿（N）为导出单位。 1N=1kg×1m/s2 工程单位制：是以长度单位米（m）、时间单位秒（m）、力的单位公斤力（kg?）为基本单位，而质量的单位牛顿（N）为导出单位。 工程单位制与国际单位制有如下关系： 1 kg?=9.8N 三、质点运动微分方程及其应用 （一）质点运动微分方程 设质量为m的物体，在合力F的作用下，以加速度a运动。根据质点动力学基本方程有 F=ma 质点运动微分方程: 由于质点的加速度是速度对时间的一阶导数，则上式可改写为： 将上式表达成两种投影形式: ①直角坐标投影式 ②自然坐标投影式 式中：Fτ、Fn 应理解为作用于质点上所有外力的合力F在τ、n坐标轴的投影。 式中：Fx、Fy、Fz 应理解为作用于质点上所有外力的合力F在x、y、z 坐标轴的投影。 设质点的轨迹为平面曲线，则有 例1：如a图所示，电梯以匀加速度a上升，在电梯地板上放置一重为G的重物。求重物对地板的压力。 （二）质点动力学第一类问题 这类问题是已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。从数学意义上讲就是求导数的过程。在求出加速度后代入运动微分方程即可求出力。 解题分析及步骤： ①选取研究对象，画受力图。 题求重物对地板的压力，即求地板对重物的约束反力；故选重物为研究对象即可；受力图如图b所示。画受力图时，需图示v、a的方向。 ②运动分析，选取坐标轴。 主要视研究对象的运动轨迹而定。本题中，重物随同电梯一起作匀加速度直线运动，故选x轴方向向上，如b图所示。 ③列运动微分方程，并求解。 在选择的坐标系中，列出研究对象的运动方程式。在列式时，要注意合力∑F的方向与 加速度a的方向一致。本题中 ∑Fx=FN-G=ma FN= G + ma=G（1+a/g） FQ? v0 G F G v FQn ? ? an 例2：如图所示，卷扬小车连同起吊重物一起沿横梁以匀速v0向右运动。此时，钢索中的拉力等于重力G，钢索长为l，。当卷扬小车突然制动时，重物将向右摆动