无约束优化模型.ppt

第五章：优化模型 华侨大学信息系 0：引言 1: 最优化意义： ? 自然界许多事情均按最经济（优化）方向进行的。 例：光走的路程沿所花时间最短的方向行进（由此可行光的折射，反射定理） ?人们也希望最经济（优化）做一些事。 资源分配中要求在有限资源中产生效益最大。运输中满足条件下运输费用最低 。 生产中使成本最低，利润最大。 使经济增长最大，失业率最小！2：建立最优化模型步骤 ? 确定问题的决策变量，用n维向量x=（x1……xn）表  示。 ?构造目标函数f（x）? （极为重要） ?找x 允许取值的范围 x??，? 称为可行域常用一组不等（等式）g i（x）? 0 （i = 1，2，……m ）界定称为约束条件。 ? 数学表达： min z = f （x） ……（1） x s，t，gi （x） ? 0 i = 1，2……m（2） [ min （求极小）可以改为max（求极大）；s.t（subject to）是“受约束于”意思；满足（2）的解 x，称为可行解满足（1），（2）的解 x*，称为最优解。3：最优化模型的求解： （1）这是多元函数的条件极值问题。 求解析解的基本原理和方法已经给出。 （2）但是：实际中解析方法只能处理 f，g较简单，m，n比较小的情形 ；实际中f，g比较复杂，m，n 较大就难求 转化为  数值解法。 （3）只有（1）式的优化，称为无约束优化。（1），（2）组成的模型，称为约束优化。实际中的优化问题是有约束的； 但如果最优解不是在可行域的边界上，而是在它内部 ，那可以用无约束优化来处理，另外无约束优化为约束优化的基础，故先讨论无约束优化。 第一次：无约束 优化 模型 一：问题 1：产销量安排： 某厂生产一种产品有甲，乙两个牌号，讨论在产销平衡 的情况下如何确定各自的产量，使总的利润最大，所谓产销产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量。 （1）问题分析：利润即取决于销量 和（单件）价格 ，也依赖于产量和（单件）成本。按市场规律，甲的价格p1固然会随其销量x1增长而降低，同时会随乙销量x2增长而降低，乙的价格p2 也遵循同样的规律。 （2）假设：简单地假设价格与销量成线性关系 p1 = b1－a11 x1 －a12 x2 ，b1 ，a 11 ，a12 ０， 　　　　　　a11 a 12 p2 =b2－ a21 x1 － a 22 x2 ， b2 ， a 21 ， a22 ０ ， 　　　　　　 a 22 a 21 假设甲，乙成本为其产量的负指数关系,设甲，乙成本为q1，q2（单位成本）即： （3）目标函数： (5）：如果加一个条件 限制：两个牌号的产量和不能超过常值，比如100，那么问题变成在在条件x1+x2?100下，使（3）式 z（x1,x2 )达到最大的约束优化。 2：经济增长模型： （0）问题：增加生产，发展经济所依靠的主要因素有：增加资金，增加劳动力以及技术革新。 研究国民经济产值与这些因素 的数量关系时，由于技术水平不像资金，劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值与资金，劳动力之间的关系;在资本主义初期，这模型应该有意义.目的寻求产值与资金，劳动力之间的关系。 （1）：假设变量：设Q，K，L分别表示产值，资金劳动力，求Q（K，L）。 （2）建模： A：产值依赖于每个劳动力的投资强度，并且与劳动力数量成正比（G表示某一函数） B：产值随资金，劳动力的增长而增加，但是增长得越来越慢，根据这个假设选择（4）式中函数G的形式，常用的函数是 （3）估计参数（即是优化模型 ）：（7）式中?，?，a 要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1890—1926年上述三个经济指数的统计数据。常用方法：对（7）式取对数线性二乘法估计?，?，a ；或直接对（7）式非线性拟合估计 ?，?，a 。所谓式直接对（7）式非线性拟合估计 ?，?，a