数字与信号处理第1章.ppt

例1-17 若X(z)为 求Z反变换。  解 X(z)在z=a处有一极点，收敛域在极点所在圆以内，序列应该是左边序列，X(z)应展成z的升幂次级数，因此应按升幂顺次长除有 故 则 从上面两例可以看出，长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数，这完全取决于收敛域。所以在进行长除以前，一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列，然后才能正确地决定是按升幂长除，还是按降幂长除。  如果收敛域是|z|Rx+，则x(n)必然是左边序列，此时应将X(z)展开成z的正幂级数，为此，X(z)的分子分母应按z的升幂（或z-1的降幂）排列。 1.4.3 Z变换的性质 1. 线性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有: Z［x(n)］=X(z) Rx-|z|R x+ Z［y(n)］=Y(z) Ry-|z|Ry+ 那么对于任意常数a、b，Z变换都能满足以下等式： Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z) Ｒ-|z|R+ (1-79) 通常两序列和的Z变换的收敛域为两个相加序列的收敛域的公共区域： R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+) 如果线性组合中某些零点与极点互相抵消， 则收敛域可能扩大。 例1-18 已知 x(n)=anu(n) y(n)=anu(n-N) 求x(n)-y(n)的Z变换。  解 由表1-1可知 又 利用线性性质，x(n)-y(n)的Z变换为 这时由于极点z=a消去，因此收敛域不是|z||a|，而扩展为|z|0。 实际上，由于x(n)是n≥0的有限长序列，故收敛域是除了|z|=0外的全部Z平面。  实际上，上一小节讲Z反变换时，其中的部分分式分解法已经使用了Z变换的线性叠加特性。 2. 序列的移位 位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 (1-80) 证 3. 乘以指数序列（Z域尺度变换） 证 (1-81) 例 1-19 ∞≥|z|1 ∞≥|z||a| 4. X(z)的微分 证 交换求和与求导的次序，则得 所以 例1-20 利用X(z)的微分特性求下面序列的Z变换。 x(n)=nanu(n)=n［anu(n)］=nx1(n) 解 |z||a| 利用微分特性有 |z||a| 5. 复序列的共轭 (1-83) 式中，符号“*”表示取共轭复数。 证 6. 翻褶序列 (1-84) 证 而收敛域为 故可写成 7. 初值定理 对于因果序列x(n)，即x(n)=0, n0, 有 证 由于x(n)是因果序列，则有: 8. 终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位圆内，则 (1-86) 证 利用序列的移位性质可得 再利用x(n)为因果序列可得 分析一下(z-1)X(z)的收敛域。由于X(z)在单位圆上只有在z=1 处可能有一阶极点，函数(z-1)X(z)将抵消掉这个z=1处的可能极点，因此(z-1)X(z)的收敛域将包括单位圆，即在1≤|z|≤∞上都收敛，所以可以取z→1 的极限, 由于 是X(z)在z=1 处的留数，因此终值定理也可用留数表示， 即: (1-87) 9. 序列卷积（卷积定理） 若 则 (1-88) Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被抵消，收敛域可扩大。 证 max［Rx-, Rh-］|z|min［Rx+, Rh+］ 在线性时不变系统中，如果输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积; 利用卷积定理， 通过求出X(z)和H(z)，然后求出乘积X(z)H(z)的Z反变换，从而可得y(n)。这个定理得到广泛应用。 例 1-21 设x(n)=anu(n),  h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1) 求y(n)=x(n) * h(n)。 解 所以 其Z反变换为 显然，在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果|b||a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大， 如图1-32所示。 图 1-32