差商及其性质.ppt

一、 Lagrange 插值多项式 * 4.1 差商（均差）及性质 1 差商（均差） 已知y = 函数表 则 在 上平均变化率分别为： 即有定义： 定义为f(x) 的差商 §4 差商与牛顿插值多项式 定义4 为函数 在 的一阶差商（一阶均差）； 称为y = 在点 的二阶差商（二阶均差）； （3）一般由函数y= 的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商。 称为函数y= 在 点的n阶差商（n阶均差）。 ，称 （1）对于 的一阶差商表，再作一次差商，即 （2）由函数y= 即 n－1阶 差商 2 基本性质 定理5 （2）k 阶差商 关于节点 是对称的，或说 均差与节点顺序无关，即 例如： 共6个 的线性组合，即 的k阶差商 是函数值 （1） 分析 ： 当k =1时, (1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1) 证明： （1）当k =1时, 一阶差商 二阶差商 k 阶差商 三阶差商 (0 阶差商) 表2.4 3 差商表 计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。 4.2 牛顿插值多项式 已知 函数表（4.1）, 由差商定义及对称性，得 1 牛顿插值多项式的推导 将(b)式两边同乘以, 抵消 抵消 抵消 (d)式两边同乘以 ,把所有式子相加,得 ,(c)式两边同乘以 记 --- 牛顿插值多项式 --- 牛顿插值余项 可以验证 ，即 满足插值条件, 因此 可得以下结论。 定理6 则满足插值条件 的插值多项式为： （牛顿插值多项式） 其中， --- 牛顿插值多项式 --- 牛顿插值余项 2 n +1阶差商函数与导数的关系 由n次插值多项式的唯一性，则有 , 牛顿插值多项式 与拉格朗日插值多项式 都是次数小于或等于n的多项式, 只是表达方式不同. ? 因为 而 的基函数可为: 已知 函数表 牛顿插值多项式系数 牛顿插值多项式系数 牛顿插值多项式系数 阶导数存在时，由插值多项式的唯一性有余项公式 n+1阶差商函数 导数 其中 且 为包含 区间. 依赖于 则n 阶差商与导数 的关系为 其中 n +1阶差商函数与导数的关系 定理7 计算步骤: (2) 用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算 . 3 牛顿插值多项式计算次数(当k =n 时) (1) 计算差商表(计算 的系数) 一阶差商 二阶差商 k 阶差商 三阶差商 (0 阶差商) 除法次数(k =n): (2) 用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算 . 乘法次数: n 优点: (1)计算量小,较 L- 插值法减少了3-4倍. (2)当需要增加一个插值节点时,只需再计算一项,即 --- 递推公式 (适合计算机计算). 乘除法次数大约为: 4 两函数相乘的差商 定理8（两函数相乘的差商） 显然公式成立。 事实上， 一般情况，可用归纳法证明。 # 设 证明： 阶差商为 5 重节点差商 （通过差商极限定义） 定义5 (重节点差商) 若 , 的节点xi(i=0，1，…，n) 定理7中 互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。 说明： ? 则定义 类似的有 其中 --- 牛顿插值多项式 --- 牛顿插值余项 §4 差商与牛顿插值多项式 牛顿插值公式 5 重节点差商 定义5 (重节点差商) 若 , ? 则定义 类似的有 证明： (2)首先,由定义 泰勒展开式 1、理解差商定义 P.85 7 作业: 3、会用牛顿插值多项式解简单题目。 2、掌握牛顿插值公式 其中， --- 牛顿插值多项式 --