带导数的插值.ppt

华长生制作 带不完全导数的埃尔米特插值多项式举例 例 建立埃尔米特插值多项式 使之满足 如下插值条件： 故可设满足题目条件的插值多项式是 * 2.2.4 带导数的插值问题 Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点 --------(1) --------(2) 定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为Hk(x) , k为多项式次数 两点三次Hermite插值 先考虑只有两个节点的插值问题 希望插值系数与Lagrange插值一样简单 重新假设 其中 可知 由 可得 Lagrange 插值基函数 类似可得 即 将以上结果代入 得两个节点的三次Hermite插值公式 二、两点三次Hermite插值的余项 两点三次Hermite插值的误差为 构造辅助函数 均是 二重根 连续使用4次Rolle定理，可得， 使得 即 所以,两点三次Hermite插值的余项为 以上分析都能成立吗？ 例 设f(x)=lnx，给定f(1)=0, f(2)=0.693147, f’(1)=1, f’(2)=0.5。用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f(1.5)的近似值。 解 记x0=1,x1=2, 可得 得三次Hermite插值多项式 由此得f(1.5)的近似值H3(1.5)=0.409074 例1. 解: 作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有 可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题， 我们可以使用分段两点三次Hermite插值 　　Hermite 插值是带导数的插值，除了可以要求插值多项式与被插值函数在插值节点上取值相等外，还可以要求在节点上它们的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。 下面只讨论在插值节点上函数值和函数的一阶导数值都给定的情形。 　　设在n+1个不同点的插值节点 　上，给定 　　　　　　　　　　　　　　　　　　。要求一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x),试的满足插值条件 同样Hermite 插值多项式可以用类似于求Lagrange 插值多项式的方法给出，这种插值多项式是唯一存在的。 　　先求出插值基函数 　每个基函数为2n+1次多项式，并且满足如下条件 一般的 Hermite插值多项式 利用 　　 构造多项式 这是一个次数不超过2n+1的多项式。 其中li(x)为Lagrange插值基函数，由条件得 由此得 （2.1.32） 同理可得 下面讨论唯一性问题，设还有一个次数不超过2n+1的多项式Gn+1(x)满足相同的插值条件。 令 　　　，则有 因为R(x) 是一个次数不超过2n+1的多项式，最多有2n+1个零点，但现在它有n+1个二重根 ，即有2n+2个零点，所以，必有R(x)=0,即H2n+1(x)=G2n+1(x)。 　　同样仿照Lagrange 插值余项的证明方法，可得下面的余项定理 　　定理 设 为[a,b]上相异节点， ,并且 f(2n+2)(x) 在(a,b)内存在，Hn+1(x)是满足前面插值条件的插值多项式，则对任何x∈[a,b],存在ξ∈(a,b),使得 解 二次牛顿插值多项式 满足插值条件 * * * * *