暑期辅导二--几何图形的折叠与拼接、平移和旋转.doc

专题二--几何图形的折叠与拼接、平移和旋转 热点规律透视： 1.折叠问题与轴对称图形有着紧密的内在联系。 （1）一个图形折叠成另一个图形，则这个图形折叠的部分折叠前后全等； （2）一个图形中的一个点绕着一条直线旋转180°与另一个点重合，则这条直线是这两个点连线的中垂线。 2.依据图形的特点，把图形中的一部分切割到别处再拼接上，以实现把不规则图形转化为规则图形，是一种有效地解题方法，特别适用于图形面积的计算； 3.平移和旋转是两种全等的几何变换。平移过程中，整体与任一部分的变换规律完全一致；旋转过程中也遵循这个规则； 4.这些几何变换有一个共同点：变换前后的图形全等。 例1.如图2，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么AEF的度数为 67.5°  规律技巧1.每次折叠前后的两个图形（折叠部分）全等，由此可推得相等的角、相等的线段； 2.这类题可通过实验操作直观地发现其中隐含的条件，为解题提供帮助。 例2． 已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）． （1）求证：BM=DN； （2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形； （3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰3，求的值． 规律技巧：根据折叠性质“对称点连线被折痕垂直平分” 练习：如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：①且；②； ③； ④，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点. (1)已知点A(3,1)，连结OA，平移线段OA，使点O落在点B.设点A落在点C,作如下探究： 探究一：若点B的坐标为(1，2)，请在图1中作出平移后的像，则点C的坐标是 ；连结AC，BO，请判断O，A，C，B四点构成的图形的形状，并说明理由； 探究二：若点B的坐标为(6，2)，按探究一的方法,判断O，A，B,C四点构成的图形的形状. (2)通过上面的探究，请直接回答下列问题： ①若已知三点A (a，b)，B(c，d)，C (a+c，b+d)，顺次连结O，A，C，B，请判断所得到的图形的形状； ②在①的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出a，b，c，d应满足的关系式. 规律技巧：平移具备下列特征： （1）平移前后的对应线段相等且平行（或位于同一条直线上） （2）图形上的一点平移方向、大小等规律适用于整个图形及图形上的其他点。 例4. 如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的 正方形，M为OB的中点，将△沿直线AM对折，使O点落在处，连结，过点作于N. （1）写出点A、B、C的坐标； （2）判断△与△是否相似，若是，请给出证明； （3）求点的坐标. 练习：1.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF． （1）求证：△ABE≌△AD′F； （2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？ 证明你的结论． 2.如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片． （1）求证：四边形是正方形； （2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形． 3．如图，Rt△AB (C ( 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ( 交斜边于点E，CC ( 的延长线交BB ( 于点F． （1）证明：△ACE∽△FBE； （2）设∠ABC=，∠CAC ( =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形． △ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由． 4 A D B F C E A B C D E F D′ y B A O x 图1 x O A B y 图2 A C O B M N D x y 图1 图2 图3 图8 E C B D A G F