曲面积分2.doc

第二型曲面积分的概念 设 S 为有界的光滑有向曲面, 都在 S 上有界, 将 S 任意分成n块有向小曲面 , 第i块有向小曲面 在三个坐标面上的投影分别为 是 上的任意一点, 其中正、负号分别对应S的前侧与后侧. 其中正、负号分别对应S的右侧与左侧. 其中正、负号分别对应S的上侧与下侧. 说明．两类曲面积分的被积函数的变量满足积分曲面方程。 另外一种表达: 第二型曲面积分转化为第—型曲面积分 右端的正负号由曲面z所取的侧确定，如果曲面取的是上( 下)侧，则就取正(负)号． 证明 考虑S取上侧的积分，则这时高斯公式 首先证明公式 右边 左边 166-6(2) 求第二型曲面积分 , S 为 下半部的下侧 .167-6 ( 6) 解法1 同理 又 所以. 于是原式. 解法2 用Gauss 公式, 原式 解法3 化为第一类曲面积分。由 上式中 计算的是柱面 S 的面积. 167-6 ( 7) 求 S 是圆柱面 和平面 及 所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧. 解 若直接计算，要把S分成5块，改用高斯公式转化为计算三重积分较为简单．记S围成的区域为Ω，则 p166, 6 ( 1) 解法1 解法2 用高斯公式求解 S不是封闭曲面，要添加辅助面， 构成封闭曲面后再用高斯公式．考虑曲面： 指向朝上．显然： 所围的区域是圆锥体 由高斯公式，有 又 因而 注意 1 直接计算第二型曲面积分的基本方法也是套公式化为二重积分，再化为累次积分．化为二重积分时，要注意选择投影方向，确定曲面S的投影区域，井注意由曲面的定向选择公式所带的正负号．注意不同的投影方向所用的公式是不同的． 2 若S是分块表示的，也要用分块积分法．要注意用以下事实简化计算： 即 即 即 11