正项级数收敛性判别法的比较及其应用.doc

正项级数收敛性判别法的比较及其应用 摘 要：关键词 Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof. Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare 一、引言级数级数级数收敛性判断级数收敛性判断的方法有界，即存在某正数M，对，有M。 2、几种不同的判别法 (1)比较判别法 设和是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切nN都有 那么 若级数收敛，则级数也收敛； 若级数发散，则级数也发散； 比较判别法的极限形式 ： 设和是两个正项级数。若，则 当时，与同时收敛或同时发散； 当且级数收敛时，也收敛； 当且发散时，也发散。 (2) 比值判别法 设为正项级数， ，有 若对一切，成立不等式，则级数收敛； 若对一切，成立不等式，则级数发散。 (3) 根式判别法 设是正项级数，且存在某正整数及正常数M 若对一切，成立不等式，则级数收敛； 若对一切，成立不等式，则级数发散。 根式判别法的极限形式： 设是正项级数，且，则 当时，级数收敛； 当时，级数发散； 当时，级数的敛散性进一步判断。 (4) 柯西积分判别法 对于正项级数，设单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数，使得当x等于自然数n时，其函数恰为。那么级数积分，，同时收敛或同时发散。 (5) 拉贝判别法 设是正项级数，且存在自然数及常数r， 若对一切，成立不等式，则级数发散； 若对一切，成立不等式，则级数收敛 拉贝判别法的极限形式： 设是正项级数，且极限存在，则 当时，级数收敛； 当时，级数发散。 当时，拉贝判别法无法判断。 (6) 阿贝尔判别法 如果： 级数收敛； 数列单调有界，，则级数收敛。 (7) 狄立克莱判别法——变量级数判别法 如果： 级数的部分和有界， 数列单调趋近于零，则级数收敛。 注：阿贝尔判别法与狄立克莱判别法是任意级数判别法，但也适用正项级数。 (8) 对数判别法 设，，为正项级数，若 ，，收敛 ，发散。 (9) 高斯判别法 设为正项级数，若， 则在时，级数收敛; 时，级数发散。 三、 判别方法的比较 1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含有二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的比较判别法判断。如： （1） 取，，若令 所以级数发散 （2） = = S= P级数只能用正项级数的比较判别法进行判断最为简便。 2、当级数表达式形如，为任意函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P级数、调和级数进行比较、不易算出或、等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例： （1） 级数收敛 （2） 级数收敛 比较判别法使用适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。 3、当级数含有n的阶乘，n次幂，形如或或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。当通项含的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例： （1）