概率论与数理统计第七章习题.ppt

第七章习题 2. 2.(2) 3. 3.(2) 4.(2) 8 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22(2) 22(3) * 设X1,X2,…,Xn为总体的一个样本, x1,x2,…,xn为一相应的样本值;求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值. (1) 解 因为只有一个未知参数?,故只计算总体一阶矩?1即可. 解出 将总体一阶矩?1换成样本一阶矩A1=X , 得到参数?的矩估计量 矩估计值 其中c0为已知,?1,?为未知参数. 其中?0,?为未知参数. 解 因为只有一个未知参数?,故只计算总体一阶矩?1即可. 解出 将总体一阶矩?1换成样本一阶矩A1=X , 得到参数?的矩估计量 矩估计值 求1题中各未知参数的最大似然估计值和估计量. (1) 其中c0为已知,?1,?为未知参数. 解 似然函数 xic ( i =1,2,…,n)时,取对数得 令 得到?的最大似然估计值 ?的最大似然估计量 其中?0,?为未知参数. 解 似然函数 0?xi?1 ( i =1,2,…,n)时,取对数得 令 得到?的最大似然估计值 ?的最大似然估计量 设X1,X2,…,Xn是来自参数为?的泊松分布总体的一个样本,试求?的最大似然估计量及矩估计量. 解 泊松分布的分布律为 总体一阶矩?1=E(X)=?, 将总体一阶矩?1换成样本一阶矩A1=X , 得到参数?的矩估计量 似然函数 取对数得 令 得到?的最大似然估计值 ?的最大似然估计量 设x1,x2,…,xn为相应的样本值, (1)验证第六章§2定理四中的统计量 是两总体公共方差?2的无偏估计量(SW2称为?2的合并估计). 证 两正态总体N(?1, ?12 ) ,N(?2, ?22 )中, ?12=?22=?2 而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= ?2, (2)设总体X的数学期望为?. X1,X2,…,Xn是来自X的样本. a1,a2,…,an 是任意常数,验证 是?的无偏估计量. 证 E(X1)= E(X2)=…= E(Xn)= E(X)=? 设X1,X2,X3,X4是来自均值为?的指数分布总体的样本,其中?未知. 设有估计量 T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5, T3=(X1+X2+X3+X4)/4 . (1)指出T1,T2,T3中哪几个是?的无偏估计量; (2)在上述?的无偏估计量中指出哪一个较为有效. 解 Xi ( i =1,2,3,4) 服从均值为?的指数分布,故 E(Xi)=?, D(Xi)=?2 , (1) 因此T1,T3是?的无偏估计量. (2) X1,X2,X3,X4相互独立 由于D(T1)D(T3),所以T3比T1较为有效. 设从均值为?,方差为?20的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两独立样本.X1和X2分别是两样本的均值.试证,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是?的无偏估计,并确定常数a,b使D(Y)达到最小. 解 由p168(2.19)得 E(X1)=E(X2)=?, D(X1)=?2/n1, D(X2)=?2/n2 . 故 E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)?=?, (a+b=1) 所以,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是?的无偏估计. 由于两样本独立,故两样本均值X1和X2独立,所以 由极值必要条件 解得 而 由于 故D(Y)必有唯一极小值即最小值. 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布N(?,?2),求?的置信水平为0.95 的置信区间. (1)若由以往经验知? =0.6, (2)若?为未知. 解 (1) ?2已知,?的置信水平为1-? 的置信区间为 n=9, 1-?=0.95, ?=0.05, ?(z0.025)=1-0.025=0.975, z0.025=1.96, ? =0.6 ,x=6, ?的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.608, 6.392). (2) ?2未知,?的置信水平为1-? 的置信区间为 n=9, 1-?=0.95, ?=0.05, t ?/2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060 s=0.5745, ?的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.558, 6.442). 随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s).设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差?的置信水平为0.95 的置信区间. 解