概率论与数理统计第三章方差.ppt

* 理学院 University of Shanghai for Science and Technology College of Science 上海理工大学 概率论与数理统计 方 差 前面说到评判一批水泥板的质量问题．若它们平均承受力较大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足200kg．这批水泥板的承受力与平均值1000kg的偏离程度较大，质量不稳定、较差，不能被用于建造房屋，否则会发生事故．那么，我们该用什么量去衡量这个偏离程度呢？对于随机变量X，虽然量E{|X?E(X)|}能度量X与其均值E(X)的偏离程度，但它带有绝对值，运算不方便．为了运算方便，通常使用量 来度量X与其均值E(X)的偏离程度． 引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？ 解 首先比较平均环数 E(甲) = 8.3, E(乙) = 8.3 有五个不同数 有 四 个 不 同 数 再比较稳定程度 甲： 乙： 乙比甲技术稳定，故乙技术较好. 进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 乙 E [X - E(X)]2 定义 设X是随机变量，若E [X ? E(X)]2 存在, 则称其为 X 的方差,记为Var(X ) 或 Var (X) (deviation variance) 称 为 X 的均方差或标准差. 方差概念 即 Var (X ) = E [X?E(X)]2 两者量纲相同 Var(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度—— 数值 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 例1 设 X 的概率密度如下， 求 Var(X) 解 由方差的定义知 例2 设 X ~ N ( ?, ? 2), 求 Var( X ) 解 由方差的定义知 令 那么 方差的计算 计算方差的常用公式： 证明：因为 Var (X ) = E{ [X?E(X)]2 } (由r.v.函数的数学期望) = E {X2?2E(X) X + [ E(X) ]2} = E (X2 ) ?2E(X) E(X) + [ E(X) ]2 = E (X2 ) ? [ E(X) ]2 例3　设随机变量X具有期望E(X)=?，标准差?(X)= ? ，记 求证 E(X*)=0,Var(X)=1. 证明 由数学期望的性质，得 标准化变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差Var(X ) 都存在, 且Var(X ) ? 0, 则称 为 X 的标准化变量. 那么 例4 设X ~ P (?), 求Var( X ). 解一 解二 所以 例5 设X ~ U(a , b)，求Var(X ). 解 Var (X)=E(X2)-E2(X)= 例6 设X服从参数为?的指数分布 ，求Var(X ). 解 因为E (X )= 1/?. E2(X )= 1/?2 故 ． 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P(?) ? 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 Exp(?) N(?,? 2) 1.Var (C) = 0 2.Var (aX ) = a2Var(X) Var(aX+b ) = a2Var(X) 方差的性质 3.对任意常数C, Var (X ) ? E(X – C)2 , 当且仅当 C = E(X )时等号成立 4. Var (X ) = 0 P {X = E(X)}=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X) 性质 1 的证明： 性质 2 的证明： 性质 3 的证明： 当C = E(X )时，显然等号成立； 当C ? E(X )时， 例6 设随机变量X具有概率密度函数 求E (6X?2)和 Var(6X?2) 解：首先计算X的数学期望 于是 又 从而 利用方差的性质，得 仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布 P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 与 有相同的 期望方差 但是分布 却不相同 例如 例7 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, Var(X )