次序统计量及其分布.ppt

* * §5.3 次序统计量及其分布 定义 定义 5-3-1: 设 为取自总体X的样本， 将其按大小顺序排序 则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Statistic) 特别地，称 （5-3-1） 为最小顺序统计量(Minimum order Statistic) 称 （5-3-2） 为最大顺序统计量(Maximum order Statistic) 。 例5-3-1：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均匀分布，其分布列为 x 0 1 2 p 现从中抽取容量为 3 的样本，其一切可能取值有 种，现将它们以及由它们所构成的次序统 计量 的一切可能值列在表中(P243)， 由此可给出 的分布列如下： 1/27 7/27 19/27 P 2 1 0 X(1) 7/27 13/27 7/27 P 2 1 0 X(2) 19/27 7/27 1/27 P 2 1 0 X(3) 可见这三个次序统计量的分布是不相同的。 进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布，如 x(1) 和 x(2) 的联合分布列为 1/27 0 0 2 3/27 4/27 0 1 3/27 9/27 7/27 0 2 1 0 x(2) x(1) 易于看出 不等于 即 x(1) 和 x(2) 是不独立的。 次序统计量的分布 （一）单个次序统计量的分布 定理 5-3-1：设总体X的密度函数为 p (x) ，分布函数为 F (x) ，x1, x2, …, xn 为样本，则第 k 个次序统计量 x (k) 的密度函数为 （5-3-3） 证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值落在小区间 (x , x + ?x ] 内这一事件，它等价于“样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + ?x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，有 n-k 个观测值大于 x + ?x ”，其直观示意图见下图 5-8 . x x+?x n-k k - 1 1 图 5—8 x (k) 的取值示意图 样本的每一分量小于等于 x 的概率为 F (x) , 落入区间 ( x , x + ?x ] 概率为F(x+ ?x)-F(x),落入区间 (x+ ?x, b]的概率为 1-F(x+?x) ，而将 n 个分量分成这样的三组，总的分法有 种，于是，若以 Fk (x) 记 x (k) 的分布函数，则由多项分布可得 两边同除以 ?x , 并令 ?x→0 , 即有 推论1 ：最大次序统计量 x (n) 的概率密度函数为 推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为 (5-3-4) (5-3-5) 例 5-3-2 :设总体X 的密度函数为 现从该总体中抽得一个容量为 5 的样本，试计算 解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为 由公式（5-3-3）可以得到 x (2) 的密度函数为 于是 （二）多个次序统计量的联合分布 仅讨论任意二个次序统计量的情形。 定理 5-3-2 ：设总体 ξ 有密度函数 f (x) , a ≤x ≤b , （同样可设 a = - ∞, b = +∞ ) 。并且 ξ1 , ξ2 , … , ξn 是取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计量 ξ (1) ξ (2) 的联合分布密度函数为 （5-3-6） 证明：对增量 ?y, ?z 以及 y z , 事件 可以表述为“容量为 n 的样本 x1, x2, … , xn 中有 i-1 个观测值小于等于 y , 一个落入区间 ( y , y + ?y ] , j –i -1 个落入区间 ( y + ?y , z ] , 一个落入区间 ( z, z+?z ] ,而余下的 n—j 个大于 z + ? z ” i-1 1 j-i-1 1 n-j 于是由多项分布得 i-1 1 j-i-1 1 n-j i-1 1 j-i-1 1 n-j i-1