特征值与特征向量.ppt

* * * 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法 §7.4 特征值与特征向量 三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 设　是数域P上线性空间V的一个线性变换， 则称　为 的一个特征值，称　为　的属于特征值 一、特征值与特征向量 定义： 若对于P中的一个数　　存在一个V的非零向量 使得 的特征向量. ① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 注： 相同　　　 或相反 时 ② 若 是 的属于特征值　的特征向量，则 也是 的属于　的特征向量. 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若　　　　　且　　　　　，则 设 　　是V的一组基， 线性变换　在这组基下的矩阵为A. 下的坐标记为 二、特征值与特征向量的求法 分析： 设　是　的特征值，它的一个特征向量　在基 则 在基　　　　　下的坐标为 而 的坐标是 于是 又 从而 又 即 是线性方程组 的解， ∴　　　　　　　有非零解. 所以它的系数行列式 以上分析说明： 若　是　的特征值，则 反之，若　　　满足　　 则齐次线性方程组　　　　　　　有非零解. 若　　　　　　　是　　　　　　　一个非零解， 特征向量. 则向量　　　　　　　　　就是　的属于　的一个 设 　　 是一个文字，矩阵　　　　称为 称为A的特征多项式. 1. 特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （　　　是数域P上的一个n次多项式） ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注： ① 若矩阵A是线性变换　关于V的一组基的矩阵， 而　是　的一个特征值，则　是特征多项式 的根，即 的一个特征值. 反之，若　是A的特征多项式的根，则　就是 （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 　　　　　 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量. i) 在V中任取一组基 写出 在这组基下 就是　的全部特征值. ii) 求A的特征多项式 在P上的全部根它们 2. 求特征值与特征向量的一般步骤 的矩阵A . iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组 的全部线性无关的特征向量在基　　　　 下的坐标.) 并求出它的一组基础解系. (它们就是属于这个特征值 则 就是属于这个特征值　 的全部线性无关的特征向量. 而 （其中，　　　　　　　不全为零） 就是　的属于　 的全部特征向量. 如果特征值　 对应方程组的基础解系为： 对　　　　　　　　皆有 所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量. 例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下　 的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是 故数乘法变换K的特征值只有数k，且 解：A的特征多项式 例2.设线性变换　在基　 下的矩阵是 求　特征值与特征向量. 故　的特征值为：　　　（二重） 把 代入齐次方程组 　　　　　　　得 即 它的一个基础解系为： 因此，属于 的两个线性无关的特征向量为 而属于 的全部特征向量为 不全为零 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为 把 代入齐次方程组 　　　　　　　得 解得它的一个基础解系为： 而属于5的全部特征向量为 三、特征子空间 定义： 再添上零向量所成的集合，即 设 为n维线性空间V的线性变换，　为 的一个特征值，令　 为　的属于　的全部特征向量 则　 是V的一个子空间, 称之为　的一个特征子空间. 注： 的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于　的 若　在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则 即特征子空间 　的维数等于齐次线性方程组 (*) 全部线性无关的特征向量就是　 的一组基. 四、特征多项式的有关性质 1. 设　　　　　　　 则A的特征多项式 由多项式根与系数的关系还可得 ② A的全体特征值的积＝ ① A的全体特征值的和＝ 称之为A的迹,记作trA. 2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. 于是， 证:设 　则存在可逆矩阵X，使得 注： ② 有相同特征多项式的矩阵未必相似. 成是矩阵A的特征值与特征向量. 它们的特征多项式都是　　　，但A、B不相似. 多项式；而线性变换　的特征值与特征向量有时也说 因此,