高中数学必修1第1章(9).docVIP

课 题：2.4.2 反函数（二） 教学目的： ⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明. ⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用； 教学难点：定理的证明（但教材不作要求）. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．反函数的定义； 2．互为反函数的两个函数与间的关系： ----定义域、值域相反，对应法则互逆； 3．反函数的求法：一解、二换、三注明 4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y); ②点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？); 5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系. ①的反函数是 ②的反函数是 二、讲解新课： 1．探究互为反函数的函数的图像关系 观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称. 2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理） 证明：设M(a,b)是的图象上的任意一点， 则当x=a时，有唯一的值. ∵有反函数， ∴当x=b时，有唯一的值， 即点(b,a)在反函数的图象上. 若a=b，则M，是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称. 若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P，M 由两点间的距离公式得： PM=,P=， ∴PM=P. ∴直线y=x是线段M的垂直平分线， ∴点M, 关于直线y=x对称. ∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点， ∴图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上， ∴函数与的图象关于直线y=x对称. 逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数. 3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像 若的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到； ⑵求反函数的定义域求原函数的值域； ⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同 三、讲解例题： 例1．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象. 解：∵原函数的定义域是x0，值域是y0, ∴由y=解出, ∴函数的反函数是, 作 y=(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数的图象（如图）. 例2．求函数的值域． 分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系. 解：∵ ∴ ∴ y≠ ∴函数的值域为{y|y≠} 例3 已知=(x-1)，求； 解法1：⑴令=y=，∴=--①，∵x-1，∴x=-;⑵∵x-1，由①式知≥1,∴y0; ⑶∴= -(x0)；⑷=-2. 分析：由y=与y=互为反函数的关系可知：当y=中的x=a时y=b，则在y=中,当x=b时y=a，本题要求，设其为u，说明在函数=y=(x-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x. 解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x-1，∴x=-2. 说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果. 四、练习：课本P63－64练习：5，6，7 补充：设函数y=的反函数为y=，求y=的反函数. 解：在函数y=中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=, ∴x=-，∴y=的反函数为y=-， 又∵= ,∴y=的反函数为y=-. 五、小结 本节课学习了以下内容： 1.互为反函数的函数图象间关系， 2.求一个函数的反函数图象的方法， 3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性 六、课后作业：课本P64习题2.4：2 答案与提示：2.y==,x∈[0,5]; 补充：⒈求下列函数的反函数： ⑴；⑵y=-6x+12(x≤3);⑶y=(x≤-2). ⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b，求a,b的值. 答案：⒈ ⑴y=-(x≥0); ⑵y=3-(x≥0); ⑶y=--2(x≥0). ⒉a=,b=-6;. 七、板书设计（略） 八、课后记： 无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考 全免费的数学教学资源网站 QQ 904007915 教师群号小学)(中学)